Cho x,y là các số khác 0 thỏa mãn $x^{2}$ +$\frac{8}{x^{2} }$ +$\frac{y^{2} }{8}$ = 8
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=xy+2024
Cho x,y là các số khác 0 thỏa mãn $x^{2}$ +$\frac{8}{x^{2} }$ +$\frac{y^{2} }{8}$ = 8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=xy+2024
By Anna
Đáp án:
GTNN của A bằng 2016, GTLN của A là 2032
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT AM- GM ta có:
\(\begin{array}{l}
8 = {x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{8} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{8}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{8} \ge 4.\sqrt[4]{{\frac{{{x^2}}}{2}.\frac{{{x^2}}}{2}.\frac{8}{{{x^2}}}.\frac{{{y^2}}}{8}}} = 4.\sqrt[4]{{\frac{{{x^2}{y^2}}}{4}}}\\
\Rightarrow {x^2}{y^2} \le 64 \Leftrightarrow – 8 \le xy \le 8\\
\Rightarrow A = xy + 2024 \Leftrightarrow – 8 + 2024 \le A \le 8 + 2024 \Leftrightarrow 2016 \le A \le 2032
\end{array}\)
Vậy GTNN của A bằng 2016, GTLN của A là 2032