Cho x,y là các số nguyên dương.Chứng minh x^2 +2y và y^2 +2x không đồng thời là số chính phương Các bạn ơi giúp mình với mình đang cần gấp

Đáp án:

 `↓↓`

Giải thích các bước giải:

Giả sử `x ≤ y`

Ta có: `y^2 ≤ y^2 + 8x ≤y^2 + 8y ≤ y^2 + 8y + 16 = (y + 4)^2`

`=> y^2 + 8x = (y+1)^2`

                      `(y+2)^2`

                       `(y+3)^2`

Xét `TH1 : y^2 + 8x = (y + 1)^2`

`=> y^2 + 8x = y^2 + 2y +1`

`=> 8x – 2y = 1` `=> 4x – y = 1212 =>`

Loại vì `x, y ∈ N*`

Xét `TH2: y^2 + 8x = (y + 2)^2 `=> y^2 + 8x = y^2 + 4x + 4`

`=> 8x – 4y = 4`

`=> 2x – y = 1` mà `x; y ∈ N*` nên ta có các trường hợp sau:

Nếu `x = 1 => y = 1 => x^2 + 8y = 9` `(TM) ;y^2 + 8x = 9 (TM)`

Nếu `x = 2 => y = 3 => x2 + 8y = 28` (Loại)

Nếu `x ≥ 3 => 2x ≥ 6 => y ≤ 5 =>` Loại vì `x≤ y`

Xét `TH3 : y^2 + 8x = ( y +3)^2`

`=> y^2 + 8x = y^2 + 6y + 9`

`=> 8x – 6y = 9`

`=>` `\text{4x – 3y = 4,5 => Loại vì x,y ∈ N*}`

Vậy `(x,y) = {1;1}`