Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 1/x + y +1/y 13/09/2021 Bởi Valerie Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 1/x + y +1/y
Đáp án: $P\ge 3\sqrt2$ Giải thích các bước giải: Ta có $x^2+y^2=1$ $\to (x+y)^2\le 2(x^2+y^2)$ $\to (x+y)^2\le 2$ $\to x+y\le \sqrt{2}$ Ta có: $P=x+\dfrac1x+y+\dfrac1y$ $\to P=(x+y)+(\dfrac1x+\dfrac1y)$ $\to P\ge (x+y)+\dfrac4{x+y}$ $\to P\ge (x+y)+\dfrac{2}{x+y}+\dfrac2{x+y}$ $\to P\ge 2\sqrt{(x+y)\cdot\dfrac2{x+y}}+\dfrac2{\sqrt2}$ $\to P\ge 3\sqrt2$ Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{\sqrt2}$ Bình luận
Đáp án: $P\ge 3\sqrt2$
Giải thích các bước giải:
Ta có $x^2+y^2=1$
$\to (x+y)^2\le 2(x^2+y^2)$
$\to (x+y)^2\le 2$
$\to x+y\le \sqrt{2}$
Ta có:
$P=x+\dfrac1x+y+\dfrac1y$
$\to P=(x+y)+(\dfrac1x+\dfrac1y)$
$\to P\ge (x+y)+\dfrac4{x+y}$
$\to P\ge (x+y)+\dfrac{2}{x+y}+\dfrac2{x+y}$
$\to P\ge 2\sqrt{(x+y)\cdot\dfrac2{x+y}}+\dfrac2{\sqrt2}$
$\to P\ge 3\sqrt2$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{\sqrt2}$