Cho x,y là các số thực dương và x+2y ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = $\frac{1}{x^{2} + 4y^{2}}$ + $\frac{1}{2xy}$
Cho x,y là các số thực dương và x+2y ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = $\frac{1}{x^{2} + 4y^{2}}$ + $\frac{1}{2xy}$
$A=\dfrac{1}{x^2+4xy}+\dfrac{1}{2xy}$
$=\dfrac{1}{x^2+4y^2}+\dfrac{1}{4xy}+\dfrac{1}{4xy}$
Áp dụng bất đẳng thức Svacxo cho 2 số x^2+4y^2 và 4xy dương ta được:
$\dfrac{1}{x^2+4y^2}+\dfrac{1}{4xy}≥\dfrac{4}{x^2+4xy+4y^2}=\dfrac{4}{(x+2y)^2}$
Mà $x+2y≤2$⇒$(x+2y)^2≤4$⇒$\dfrac{4}{(x+2y)^2}≥1$⇒$\dfrac{1}{x^2+4y^2}+\dfrac{1}{4xy}≥1(1)$
Ta có:$(x+2y)^2≤4$
Mà có bđt $(x+y)^2≥4xy$
⇒$(x+2y)^2≥8xy$
⇒$4≥8xy$
⇒$4xy≤2$
⇒$\dfrac{1}{4xy}≥\dfrac{1}{2}(2)$
Từ $(1)(2)$⇒$\dfrac{1}{x^2+4y^2}+\dfrac{1}{4xy}+\dfrac{1}{4xy}≥1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$
Hay $A=\dfrac{1}{x^2+4xy}+\dfrac{1}{2xy}≥1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$
Dấu = xảy ra⇔$x^2+4y^2=4xy;x=2y;x+2y=2$
⇔$x=1;y=\dfrac{1}{2}$