Cho x,y, là các sô thực dương và thõa mãn x+y+=xyz
Tìm Max của P= $\frac{1}{can(1+x^2)}$ +$\frac{1}{can(1+y^2)}+$$\frac{1}{can(1+z^2)}$
Cho x,y, là các sô thực dương và thõa mãn x+y+=xyz
Tìm Max của P= $\frac{1}{can(1+x^2)}$ +$\frac{1}{can(1+y^2)}+$$\frac{1}{can(1+z^2)}$
Đáp án:
$\max P =\dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z =\sqrt3$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2}}$
$=\sqrt{\dfrac{yz}{yz + x^2yz}}$
$=\sqrt{\dfrac{yz}{yz + x(x+y+z)}}$
$=\sqrt{\dfrac{yz}{yz + x^2 + xy + xz}}$
$=\sqrt{\dfrac{yz}{(x+y)(x+z)}}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\sqrt{\dfrac{yz}{(x+y)(x+z)}}\leq \dfrac12\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}\right)$
Hoàn toàn tương tự, ta được:
$\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{\dfrac{zx}{(y + z)(y + x)}}\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{y+z} +\dfrac{x}{y + x}\right)$
$\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\dfrac{xy}{(z + x)(z + y)}}\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{z + x} +\dfrac{y}{z + y}\right)$
Cộng vế theo vế ta được:
$\dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}+ \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+ \dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} \leq \dfrac12\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z} +\dfrac{x}{y + x}+(\dfrac{x}{z + x} +\dfrac{y}{z + y}\right)=\dfrac32$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z =\sqrt3$
Vậy $\max P =\dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z =\sqrt3$
Bạn tham khảo:
Đặt $a=\dfrac{1}{x}$
$b=\dfrac{1}{y}$
$c=\dfrac{1}{z}$ $(a;b;c>0)$
Theo bài ta có
$x+y+z=xyz$
⇔$\dfrac{1}{xy}+$$\dfrac{1}{yz}+$$\dfrac{1}{xz}=1$ (cùng chia cho $xyz$)
⇔$ab+bc+ac=1$
Ta có
$P=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+$ $\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+$$\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}$
$P=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}+$ $\dfrac{b}{\sqrt{b^2+ac+bc+ab}}+$ $\dfrac{c}{c^2+ab+ac+bc}$
$P=\dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+$ $\dfrac{b}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}+$ $\dfrac{c}{\sqrt{(c+b)(a+c)}}$
Áp dụng BĐT AM-GM
$P=\dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}≤$$a.\dfrac{1}{2}($$\dfrac{1}{(a+b)(a+c)}=$ $\dfrac{1}{2}$
Tương quan tự ta được
$P=\dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}≤$$a.\dfrac{1}{2}($$\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}=$$\dfrac{1}{2}$
$P=\dfrac{1}{\sqrt{(c+b)(a+c)}}≤$$a.\dfrac{1}{2}($$\dfrac{1}{(c+b)(a+c)}=$$\dfrac{1}{2}$
⇒ $P=\dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+$$P=\dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}+$$P=\dfrac{1}{\sqrt{(c+b)(a+c)}}≤$$\dfrac{1}{2}$ +$\dfrac{1}{2}$ +$\dfrac{1}{2}=$$\dfrac{3}{2}$
Dấu $”=”$ xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=$$\sqrt{3}$
Học tốt