Cho x, y là các số thực dương, z là số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ = 0 Chứng minh: $\sqrt[]{x+y}$

Đáp án:

`+) 1/x + 1/y – 1/z = 0 -> 1/x + 1/y = 1/z`

Do `x,y > 0 -> 1/x + 1/y > 0 -> 1/z > 0 -> z > 0`

 Ta có

`+) 1/x + 1/y – 1/z = 0`

`<=> 1/z – 1/x = 1/y`

`<=> (x – z)/(xz) = 1/y`

`<=> x – z = (xz)/y`

tương tự `-> y – z = (yz)/x`

Thay vào ta được

`(\sqrt{x – z} + \sqrt{y – z} )^2 = x  – z + 2\sqrt{x – z}\sqrt{y – z} + y – z`

`= x + y – 2z + 2\sqrt{x – z}\sqrt{y – z}`

`= x + y – 2z + 2\sqrt{(xz)/y . (yz)/x}`

`= x + y – 2z + 2\sqrt{z^2}`

`= x + y – 2z + 2z`

`= x + y`

`= (\sqrt{x + y})^2`

`-> \sqrt{x + y} = \sqrt{x – z} + \sqrt{y – z}`

Giải thích các bước giải: