CHo x,y là các số thực không âm thoả mãn y(y+1)<=(x+1)^2.cmr: y(y-1)<=x^2

0 bình luận về “CHo x,y là các số thực không âm thoả mãn y(y+1)<=(x+1)^2.cmr: y(y-1)<=x^2”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Với $: x, y ≥ 0$

   – Xét TH $: y(y + 1) ≤ 1 ⇔ y² + y + \dfrac{1}{4} ≤ \dfrac{5}{4} $

   $ ⇔ (y + \dfrac{1}{2})² ≤ \dfrac{5}{4} ⇔ y + \dfrac{1}{2} ≤ \dfrac{\sqrt{5}}{2}$

   $ ⇔ 0 ≤ y ≤ \dfrac{\sqrt{5} – 1}{2} <1 $

   $ ⇒ y² ≤ y ⇒ y² – y ≤ 0 ≤ x² ⇔ y(y – 1) ≤ x² (*)$

   – Xét TH $: y(y + 1) ≥ 1 ⇔  \sqrt{y(y + 1)} ≥ 1$

   Từ giả thiết $: y(y + 1) ≤ (x + 1)² ⇔ \sqrt{y(y + 1)} ≤ x + 1$ 

   $ ⇔ 0 ≤ \sqrt{y(y + 1)} – 1 ≤ x $

   $ ⇔ y(y + 1) + 1 – 2\sqrt{y(y + 1)} ≤ x² (1)$

   Mặt khác với $y ≥ 0$ ta có BĐT hiển nhiên:

   $ 4y² + 4y < 4y² + 4y + 1$

   $ ⇔ 4y(y + 1) < (2y + 1)²$

   $ ⇔ 2\sqrt{y(y + 1)} < 2y + 1 (2)$

   $(1) + (2) $ vế với vế:

   $ y² + y + 1 ≤ x² + 2y + 1 ⇔ y(y – 1) < x²(**)$

   Từ $(*); (**) $ có BĐT $ y(y – 1) ≤ x² (đpcm)$ 

   Bình luận