Cho x,y là các số thực thoã mãn x^2+xy+y^2=3 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P=2x^2-5xy+2y^2

0 bình luận về “Cho x,y là các số thực thoã mãn x^2+xy+y^2=3 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P=2x^2-5xy+2y^2”

1. Đáp án:

   $ MinP = – 1 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y = 1$

   $ MaxP = 27 ⇔ x = – y = \sqrt{3}$ hoặc $ ⇔ x = – y = – \sqrt{3}$ 

   Giải thích các bước giải: Một cách ngắn gọn để tham khảo

   $ 3P + 3 = 3(2x² – 5xy + 2y²) + (x² + xy + y²)$

   $ = 7(x² – 2xy + y²) = 7(x – y)² ≥ 0 ⇔ P ≥ – 1$

   $ ⇒ MinP = – 1 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y = 1$

   $ P – 27 = P – 9.3 = (2x² – 5xy + 2y²) – 9(x² + xy + y²)$

   $ = – 7(x² + 2xy + y²)= – 7(x + y)² ≤ 0$

   $ ⇔ P ≤ 27 ⇒ MaxP = 27 ⇔ x + y = 0 ⇔ x = – y $

   $ ⇔ x = – y = \sqrt{3}$ hoặc $ ⇔ x = – y = – \sqrt{3}$

    

   Bình luận

2. Đáp án: `P_(max)=27⇔x=√3;y=-√3`

   `P_(min)=-1⇔x=y=1` 

   Giải thích các bước giải:

   Ta có: `3=x^2+xy+y^2`

   Mà `x^2+y^2≥2xy⇒x^2+y^2+xy≥3xy`

   `⇒xy≤1`

   `P=2x^2-5xy+2y^2`

   `=(2x^2+2xy+2y^2)-7xy`

   `=2(x^2+xy+y^2)-7xy`

   `=2·3-7xy`

   `=6-7xy≥6-7=-1` (vì `xy≤1`)

   Dấu `=` xảy ra `⇔x=y=1`

   Vậy `P_(min)=-1⇔x=y=1`

   Ta có: `(x+y)^2≥0`

   `⇔x^2+2xy+y^2≥0`

   `⇔xy≥-(x^2+y^2)/2`

   `⇔x^2+xy+y^2≥(-x^2-y^2)/2+x^2+y^2`

   `⇔x^2+xy+y^2≥(-x^2-y^2)/2+(2x^2)/2+(2y^2)/2`

   `⇔3≥(x^2+y^2)/2`

   `⇔x^2+y^2≤6`

   Ta có:

   `P=2x^2-5xy+2y^2`

   `=2x^2+2y^2-5(3-x^2-y^2)`

   `=2x^2+2y^2+5x^2+5y^2-15`

   `=7(x^2+y^2)-15≤7·6-15=27`

   Dấu `=` xảy  ra `⇔x=√3;y=-√3`

   Vậy `P_(max)=27⇔x=√3;y=-√3`

    

   Bình luận