Cho x+y là các số thực thỏa mãn x+y=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=2x^2-y^2+x+1/x+2020 07/12/2021 Bởi aikhanh Cho x+y là các số thực thỏa mãn x+y=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=2x^2-y^2+x+1/x+2020
Đáp án: Bổ sung : `x,y` là các số thực dương Ta có `Q = 2x^2 – y^2 + x + 1/x + 2020` `= x^2 + (x^2 – y^2) + x + 1/x + 2020` `= x^2 + (x – y)(x + y) + x + 1/x + 2020` `= x^2 + x – y + x + 1/x + 2020` `= x^2 + 2x + 1/x – y + 2020` `= x^2 + 2x + 1/x – (1 – x) + 2020` `= x^2 + 2x + 1/x – 1 + x + 2020` `= x^2 + 3x + 1/x + 2019` `= (x^2 – x + 1/4) + 4x + 1/x + 2018 + 3/4` `= (x – 1/2)^2 + (4x + 1/x) + 2018 + 3/4 ≥ 0 + 2.\sqrt{4x . 1/x} + 2018 + 3/4 = 0 + 4 + 2018 + 3/4 = 2022,75` Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = 1/2` Vậy GTNN của Q là `2022,75 <=> x = y = 1/2` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Bổ sung : `x,y` là các số thực dương
Ta có
`Q = 2x^2 – y^2 + x + 1/x + 2020`
`= x^2 + (x^2 – y^2) + x + 1/x + 2020`
`= x^2 + (x – y)(x + y) + x + 1/x + 2020`
`= x^2 + x – y + x + 1/x + 2020`
`= x^2 + 2x + 1/x – y + 2020`
`= x^2 + 2x + 1/x – (1 – x) + 2020`
`= x^2 + 2x + 1/x – 1 + x + 2020`
`= x^2 + 3x + 1/x + 2019`
`= (x^2 – x + 1/4) + 4x + 1/x + 2018 + 3/4`
`= (x – 1/2)^2 + (4x + 1/x) + 2018 + 3/4 ≥ 0 + 2.\sqrt{4x . 1/x} + 2018 + 3/4 = 0 + 4 + 2018 + 3/4 = 2022,75`
Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = 1/2`
Vậy GTNN của Q là `2022,75 <=> x = y = 1/2`
Giải thích các bước giải: