Cho x,y là số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+xy=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x² + y² 04/09/2021 Bởi Serenity Cho x,y là số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+xy=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x² + y²
Đáp án: $P\ge 8$ Giải thích các bước giải: Ta có: $x+y+xy=8$ $\to 32=4(x+y)+4xy\le 4(x+y)+(x+y)^2$ $\to (x+y)^2+4(x+y)-32\ge 0$ $\to (x+y+8)(x+y-4)\ge 0$ $\to x+y\ge 4$ vì $x,y>0$ Ta có: $P=x^2+y^2\ge \dfrac12(x+y)^2\ge \dfrac12\cdot 4^2=8$ Dấu = xảy ra khi $x=y=2$ Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có $(x + y)² + 4(x + y) ≥ 4xy + 4(x + y) = 4(x + y + xy) = 4.8 = 32$ $ ⇔ (x + y)² + 4(x + y) + 4 ≥ 36 ⇔ (x + y + 2)² ≥ 36 $ $ ⇔ x + y + 2 ≥ 6 ⇔ x + y ≥ 4$ $ P = x² + y² ≥ \frac{1}{2}(x + y)² = \frac{1}{2}4² = 8$ Vậy $GTNN$ của $P = 8$ xảy ra khi $x = y = 2$ Bình luận
Đáp án: $P\ge 8$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$x+y+xy=8$
$\to 32=4(x+y)+4xy\le 4(x+y)+(x+y)^2$
$\to (x+y)^2+4(x+y)-32\ge 0$
$\to (x+y+8)(x+y-4)\ge 0$
$\to x+y\ge 4$ vì $x,y>0$
Ta có: $P=x^2+y^2\ge \dfrac12(x+y)^2\ge \dfrac12\cdot 4^2=8$
Dấu = xảy ra khi $x=y=2$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có $(x + y)² + 4(x + y) ≥ 4xy + 4(x + y) = 4(x + y + xy) = 4.8 = 32$
$ ⇔ (x + y)² + 4(x + y) + 4 ≥ 36 ⇔ (x + y + 2)² ≥ 36 $
$ ⇔ x + y + 2 ≥ 6 ⇔ x + y ≥ 4$
$ P = x² + y² ≥ \frac{1}{2}(x + y)² = \frac{1}{2}4² = 8$
Vậy $GTNN$ của $P = 8$ xảy ra khi $x = y = 2$