Toán Cho $x,y ∈ R ,>0 ,TM $ $x+y=\sqrt{10}.$ Tìm $Min$ của $P=(x^4 +1)(y^4 +1)$ 18/07/2021 By Josephine Cho $x,y ∈ R ,>0 ,TM $ $x+y=\sqrt{10}.$ Tìm $Min$ của $P=(x^4 +1)(y^4 +1)$
Đáp án: `P_{min}=45` khi `(x;y)\in {({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2)}` Giải thích các bước giải: `\qquad x+y=\sqrt{10}` `(x;y>0)` `<=>(x+y)^2=10` `<=>x^2+y^2=10-2xy` `<=>(x^2+y^2)^2=(10-2xy)^2` `<=>x^4+y^4+2x^2y^2=100-40xy+4x^2y^2` `<=>x^4+y^4=100+2x^2y^2-40xy` Ta có: `\qquadP=(x^4+1)(y^4+1)` `=x^4y^4+x^4+y^4+1` `=x^4y^4+100+2x^2y^2-40xy+1` `=(x^4y^4-2.x^2y^2 .4+4^2)+10(x^2y^2-2.xy.2+2^2)+45` `=(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45` Với mọi `x;y>0` ta có: $\begin{cases}(x^2y^2-4)^2\ge 0\\(xy-2)^2\ge 0\end{cases}$ `=>(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2\ge 0` `=>(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45\ge 45` `=>P\ge 45` Dấu “=” xảy ra khi: $\quad \begin{cases}(x^2y^2-4)^2=0\\(xy-2)=0\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$ `<=>`$\begin{cases}xy=2\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$ Theo hệ thức Viet đảo `=>x;y` là nghiệm của phương trình sau: `\qquad t^2-\sqrt{10}t+2=0` `<=>`$\left[\begin{array}{l}t=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\\t=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\ (thỏa\ đk)$ Vậy $GTNN$ của $P$ bằng $45$ khi `(x;y)\in {({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2)}` Trả lời
Đáp án: Vậy Min của $P$ là $45$ tại $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$ hoặc $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}}} \right.$ Giải thích các bước giải: $ĐK : x > 0 , y > 0$ $P = (x⁴ +1)(y⁴+1)$ $P= x⁴y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1$ $P = x⁴y⁴ – 2x²y² +1 +(x⁴ +2x²y²+ y⁴)$ $P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + (x² + y²)²$ $P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + [(x + y)² -2xy]²$ $P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + [(\sqrt{10})² – 2xy]²$ $P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + (10 – 2xy)²$ $P=x⁴y⁴ – 2x²y²+1 +100-40xy+4x²y²$ $P= x⁴y⁴ + 2x²y² – 40xy + 101$ $P= (x⁴y⁴ – 8x²y² + 16)+ (10x²y²-40xy+ 40) +45$ $P = (x²y² – 4)²+ 10(x²y² – 4xy+4)+45$ $P = (x²y² – 4)² + 10(xy – 2)² + 45$ $ta$ $có:$$(x²y²-4)²\geq0$ $;$ $10(xy-2)²\geq0$ $→(x²y² – 4)² + 10(xy – 2)² + 45\geq45$ $→ P \geq 45$ Dấu “=” xảy ra $⇔\left \{ {{x²y²-4=0} \atop {xy-2=0}} \atop{x+y=\sqrt{10}} \right.$ $⇔\left \{ {{x²y² = 4} \atop {xy=2}}\atop{x+y=\sqrt{10}}\right.$ $⇔\left \{ {{\left[\begin{array}{l}xy=2\\xy=-2\end{array}\right.} \atop {xy=2}}\atop{x+y = \sqrt{10}}\right.$ $⇔\left \{ {{xy=2} \atop {x+ y=\sqrt{10}}} \right.$ $⇔\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$ $(tmđk)$ hoặc $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}}} \right.$ $(tmđk)$ Vậy Min của $P$ là $45$ tại $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$ hoặc $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}}} \right.$ Trả lời
Đáp án:
`P_{min}=45` khi `(x;y)\in {({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2)}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x+y=\sqrt{10}` `(x;y>0)`
`<=>(x+y)^2=10`
`<=>x^2+y^2=10-2xy`
`<=>(x^2+y^2)^2=(10-2xy)^2`
`<=>x^4+y^4+2x^2y^2=100-40xy+4x^2y^2`
`<=>x^4+y^4=100+2x^2y^2-40xy`
Ta có:
`\qquadP=(x^4+1)(y^4+1)`
`=x^4y^4+x^4+y^4+1`
`=x^4y^4+100+2x^2y^2-40xy+1`
`=(x^4y^4-2.x^2y^2 .4+4^2)+10(x^2y^2-2.xy.2+2^2)+45`
`=(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45`
Với mọi `x;y>0` ta có:
$\begin{cases}(x^2y^2-4)^2\ge 0\\(xy-2)^2\ge 0\end{cases}$
`=>(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2\ge 0`
`=>(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45\ge 45`
`=>P\ge 45`
Dấu “=” xảy ra khi:
$\quad \begin{cases}(x^2y^2-4)^2=0\\(xy-2)=0\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}xy=2\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$
Theo hệ thức Viet đảo
`=>x;y` là nghiệm của phương trình sau:
`\qquad t^2-\sqrt{10}t+2=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}t=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\\t=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\ (thỏa\ đk)$
Vậy $GTNN$ của $P$ bằng $45$ khi `(x;y)\in {({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2)}`
Đáp án:
Vậy Min của $P$ là $45$ tại $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$ hoặc $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}}} \right.$
Giải thích các bước giải:
$ĐK : x > 0 , y > 0$
$P = (x⁴ +1)(y⁴+1)$
$P= x⁴y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1$
$P = x⁴y⁴ – 2x²y² +1 +(x⁴ +2x²y²+ y⁴)$
$P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + (x² + y²)²$
$P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + [(x + y)² -2xy]²$
$P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + [(\sqrt{10})² – 2xy]²$
$P= x⁴y⁴ – 2x²y² + 1 + (10 – 2xy)²$
$P=x⁴y⁴ – 2x²y²+1 +100-40xy+4x²y²$
$P= x⁴y⁴ + 2x²y² – 40xy + 101$
$P= (x⁴y⁴ – 8x²y² + 16)+ (10x²y²-40xy+ 40) +45$
$P = (x²y² – 4)²+ 10(x²y² – 4xy+4)+45$
$P = (x²y² – 4)² + 10(xy – 2)² + 45$
$ta$ $có:$$(x²y²-4)²\geq0$ $;$ $10(xy-2)²\geq0$
$→(x²y² – 4)² + 10(xy – 2)² + 45\geq45$
$→ P \geq 45$
Dấu “=” xảy ra $⇔\left \{ {{x²y²-4=0} \atop {xy-2=0}} \atop{x+y=\sqrt{10}} \right.$
$⇔\left \{ {{x²y² = 4} \atop {xy=2}}\atop{x+y=\sqrt{10}}\right.$
$⇔\left \{ {{\left[\begin{array}{l}xy=2\\xy=-2\end{array}\right.} \atop {xy=2}}\atop{x+y = \sqrt{10}}\right.$
$⇔\left \{ {{xy=2} \atop {x+ y=\sqrt{10}}} \right.$
$⇔\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$ $(tmđk)$ hoặc $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}}} \right.$ $(tmđk)$
Vậy Min của $P$ là $45$ tại $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}}} \right.$ hoặc $\left \{ {{x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} \atop {y = \frac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}}} \right.$