Cho x; y ∈ R thỏa mãn x²+y² = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P=$\frac{x}{y + \sqrt[]{2} }$

$\begin{array}{l} P = \dfrac{x}{{y + \sqrt 2 }} \Rightarrow {P^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + 2\sqrt 2 y + 2}} = \dfrac{{1 – {y^2}}}{{{y^2} + 2\sqrt 2 y + 2}}\\  \Rightarrow \left( {{y^2} + 2\sqrt 2 y + 2} \right){P^2} = 1 – {y^2}\\  \Leftrightarrow {P^2}{y^2} + 2\sqrt 2 y.{P^2} + 2{P^2} = 1 – {y^2}\\  \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 1} \right){y^2} + 2\sqrt 2 {P^2}y + 2{P^2} – 1 = 0 \end{array}$

Để tồn tại $y$ thì $\begin{array}{l} \Delta ‘ \ge 0 \Leftrightarrow 2{P^4} – \left( {2{P^2} – 1} \right)\left( {{P^2} + 1} \right) \ge 0\\  \Leftrightarrow  – 2{P^4} + {P^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{P^2} – 1} \right)\left( {2{P^2} + 1} \right) \le 0\\  \Leftrightarrow {P^2} – 1 \le 0 \Leftrightarrow  – 1 \le P \le 1\\  \Rightarrow P \le 1 \Rightarrow \max P = 1 \end{array}$

Thay $P$ vào phương trình trên ta được $y = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l}  \Rightarrow y + \sqrt 2  > 0 \Rightarrow x > 0\\  \Rightarrow {x^2} = 1 – {y^2} = 1 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array}$