cho x+y+xy=35. tìm giá trị nhỏ nhất của A=x^2+y^2

0 bình luận về “cho x+y+xy=35. tìm giá trị nhỏ nhất của A=x^2+y^2”

1. Đáp án: GTNN của A = -71

    

   Giải thích các bước giải:

   $\begin{array}{l}
   x + y + xy = 35\\
    \Rightarrow x + y = 35 – xy\\
   A = {x^2} + {y^2}\\
    = {x^2} + 2xy + {y^2} – 2xy\\
    = {\left( {x + y} \right)^2} – 2xy\\
    = {\left( {35 – xy} \right)^2} – 2xy\\
    = {\left( {xy} \right)^2} – 70xy + {35^2} – 2xy\\
    = {\left( {xy} \right)^2} – 72xy + 1225\\
    = {\left( {xy} \right)^2} – 2.xy.36 + 1296 – 71\\
    = {\left( {xy – 36} \right)^2} – 71\\
   Do:{\left( {xy – 36} \right)^2} \ge 0\forall xy\\
    \Rightarrow {\left( {xy – 36} \right)^2} – 71 \ge  – 71\forall xy\\
    \Rightarrow A \ge  – 71\\
    \Rightarrow GTNN:A =  – 71
   \end{array}$

   Bình luận

2. Đáp án: $GTNN$ của $A = 50$ khi $x = y = 5$

    

   Giải thích các bước giải: Ta có:

   $(x – y)² ≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ 2xy ⇔ A ≥ 2xy (1)$

   $x² + y² ≥ 2xy ⇔ 2(x² + y²) ≥ (x + y)² ⇔ \sqrt[]{2(x² + y²)} ≥ |x + y| ⇔ \sqrt[]{2A}≥ |x + y|≥ x + y ⇔ 2\sqrt[]{2A} ≥ 2(x + y) (2)$

   Theo giả thiết $x + y + xy = 35$ nên lấy $(1) + (2)$ vế với vế ta có:

   $ A + 2\sqrt[]{2A} ≥ 2xy + 2(x + y) = 2(x + y + xy) = 70$

   $⇔ A + 2\sqrt[]{2A} + 2 ≥ 72$

   $⇔ (\sqrt[]{A} + \sqrt[]{2})² ≥ 72$

   $⇔ \sqrt[]{A} + \sqrt[]{2} ≥ 6\sqrt[]{2}$

   $⇔ \sqrt[]{A} ≥ 5\sqrt[]{2}$

   $⇔ A ≥ 50$

   Vậy $GTNN$ của $A = 50$ xảy ra khi $x = y = 5$

    

   Bình luận