cho x+y+xy =5/4.tìm GTNN của A=x^2+y^2 Giải chi tiết ạ .Cảm ơn mn nhiều

0 bình luận về “cho x+y+xy =5/4.tìm GTNN của A=x^2+y^2 Giải chi tiết ạ .Cảm ơn mn nhiều”

1. Đáp án:

    `A_{min}=1/ 2` khi `x=y=1/2`

   Giải thích các bước giải:

    `x+y+xy=5/4`

   Với mọi `x;y` ta có:

   `\qquad (x-y)^2\ge 0`

   `<=>x^2-2xy+y^2\ge 0`

   `<=>x^2+y^2\ge 2xy`

   `<=>1/ 2 (x^2+y^2)\ge xy` $(1)$

   $\\$

   `\qquad (x-1/2)^2\ge 0`

   `<=>x^2-x+1/4\ge 0`

   `<=>x^2\ge x-1/4` $(2)$

   $\\$

   `\qquad (y-1/2)^2\ge 0`

   `<=>y^2-y+1/4\ge 0`

   `<=>y^2\ge y-1/4` $(3)$

   Từ `(1);(2);(3)` suy ra:

   `\qquad 1/2(x^2+y^2)+x^2+y^2\ge (xy+x+y)-1/4-1/4`

   `<=>3/2(x^2+y^2)\ge 5/4-1/2=3/4` 

   `<=>x^2+y^2\ge 1/2`

   Dấu “=” xảy ra khi `x=y=1/2`

   Vậy $GTNN$ của `A=x^2+y^2` bằng `1/2` khi `x=y=1/2`

   Trả lời