Cho x ³ – y ² – y = y ³ – z ² – z = z ³ – x ² -x =$\frac{1}{3}$ Chứng minh rằng x,y,z dương và x=y=z * Vote 5* và ctlhn cho câu hỏi đúng *

0 bình luận về “Cho x ³ – y ² – y = y ³ – z ² – z = z ³ – x ² -x =$\frac{1}{3}$ Chứng minh rằng x,y,z dương và x=y=z * Vote 5* và ctlhn cho câu hỏi đúng *”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $ x³ = y² + y + \dfrac{1}{3} (1)$

   $ y³ = z² + z + \dfrac{1}{3} (2)$

   $ z³ = x² + x + \dfrac{1}{3} (3)$

   $ (1) ⇔ x³ = y² + 2.y.\dfrac{1}{2} + (\dfrac{1}{2})² + \dfrac{1}{12}$

   $ = (y +\dfrac{1}{3})² + \dfrac{1}{12} > 0 ⇒ x >0$

   Tương tự $(2); (3) ⇒ y > 0; z > 0 (đpcm)$

   Mặt khác lấy $(1) – (2)$ ta có:

   $ x³ – y³ = y² – z² + y – z$

   $ ⇔ (x – y)(x² + xy + y²) = (y – z)(y + z + 1) (3)$

   Tương tự:

   $ (y – z)(y² + yz + z²) = (z – x)(z + x + 1) (4)$

   $ (z – x)(z² + zx + x²) = (x – y)(x + y + 1) (5)$

   Vì $x, y, z > 0 $ nên nếu giả sử $: x > y ⇒ x – y > 0$

   Từ $(3) ⇒ y – z > 0 ⇒ y > z $

   Từ $(4) ⇒ z – x > 0 ⇒ z > x $(vô lý)

   Vậy chỉ có thể $x = y = z$ thỏa mãn (đpcm)

    

   Bình luận