Cho x,y,z >0 thỏa mãn `1/x`+`1/z` =`2021/y`. Tìm min : `P` = `(x+y)/(2021x-y)` + `(y+z)/(2021z-y)` 23/08/2021 Bởi Everleigh Cho x,y,z >0 thỏa mãn `1/x`+`1/z` =`2021/y`. Tìm min : `P` = `(x+y)/(2021x-y)` + `(y+z)/(2021z-y)`
Đáp án: Ta có : `P = (x + y)/(2021x – y) + (y + z)/(2021z – y)` `= ((x + y)/(2021x -y) + 1) + ((y + z)/(2021z – y) + 1) – 2` `= (x + y + 2021x – y)/(2021x – y) + (y + z + 2021z – y)/(2021z – y) – 2` `= (2022x)/(2021x – y) + (2022z)/(2021z – y) – 2` `= 2022(x/(2021x – y) + z/(2021z – y)) – 2` `= 2022(1/(2021 – y/x) + 1/(2021 – y/z)) – 2` Áp dụng BĐT quen thuộc `(a,b > 0) 1/a + 1/b >= 4/(a+ b) <=> (a – b)^2 >= 0 ( luôn đúng)` `-> P >= 2022 . 4/(2021 – y/x + 2021 – y/z) – 2 = 8088/(4042 – y(1/x + 1/z)) = 8088/(4042 – y . 2021/y) = 8088/(4042 – 2021) = 8088/2021 – 2 = 4046/2021` Dấu “=” xảy ra `<=> x = z = 2/2021 y` Vậy `………` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Ta có :
`P = (x + y)/(2021x – y) + (y + z)/(2021z – y)`
`= ((x + y)/(2021x -y) + 1) + ((y + z)/(2021z – y) + 1) – 2`
`= (x + y + 2021x – y)/(2021x – y) + (y + z + 2021z – y)/(2021z – y) – 2`
`= (2022x)/(2021x – y) + (2022z)/(2021z – y) – 2`
`= 2022(x/(2021x – y) + z/(2021z – y)) – 2`
`= 2022(1/(2021 – y/x) + 1/(2021 – y/z)) – 2`
Áp dụng BĐT quen thuộc `(a,b > 0) 1/a + 1/b >= 4/(a+ b) <=> (a – b)^2 >= 0 ( luôn đúng)`
`-> P >= 2022 . 4/(2021 – y/x + 2021 – y/z) – 2 = 8088/(4042 – y(1/x + 1/z)) = 8088/(4042 – y . 2021/y) = 8088/(4042 – 2021) = 8088/2021 – 2 = 4046/2021`
Dấu “=” xảy ra `<=> x = z = 2/2021 y`
Vậy `………`
Giải thích các bước giải:
…