cho x,y,z>0, thỏa mãn √x + √y+ √z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 1/(x+ √x) +1/(y+ √y) +1/(z+ √z) 29/07/2021 Bởi Caroline cho x,y,z>0, thỏa mãn √x + √y+ √z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 1/(x+ √x) +1/(y+ √y) +1/(z+ √z)
Đáp án: cách khác . -_- Ta có : `(x + \sqrt{x})(y + \sqrt{y})(z + \sqrt{z})` `= \sqrt{x}.\sqrt{y}.\sqrt{z}(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{z} + 1)` Áp dụng ` cô . si ` ta có : ` \sqrt{x}.\sqrt{y}.\sqrt{z}(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{z} + 1) ≤ ((\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})/3)^3 . ((\sqrt{x} + 1 + \sqrt{y} + 1 + \sqrt{z} + 1)/3)^3 = (3/3)^3 . ((3 + 3)/3)^3 = 8` `-> (x + \sqrt{x})(y + \sqrt{y})(z + \sqrt{z}) <= 8` Áp dụng ` Cô . si ` lần nữa `-> A ≥ 3` $\sqrt[3]{\dfrac{1}{(x + \sqrt{x})(y + \sqrt{y})(z + \sqrt{z})}}$ `≥ 3` $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$ `= 3/2` Dấu “=” `↔x = y = z = 1` Vậy $A_{Min}$ là `3/2 ↔ x =y = z = 1` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
cách khác . -_-
Ta có :
`(x + \sqrt{x})(y + \sqrt{y})(z + \sqrt{z})`
`= \sqrt{x}.\sqrt{y}.\sqrt{z}(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{z} + 1)`
Áp dụng ` cô . si ` ta có :
` \sqrt{x}.\sqrt{y}.\sqrt{z}(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{z} + 1) ≤ ((\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})/3)^3 . ((\sqrt{x} + 1 + \sqrt{y} + 1 + \sqrt{z} + 1)/3)^3 = (3/3)^3 . ((3 + 3)/3)^3 = 8`
`-> (x + \sqrt{x})(y + \sqrt{y})(z + \sqrt{z}) <= 8`
Áp dụng ` Cô . si ` lần nữa
`-> A ≥ 3` $\sqrt[3]{\dfrac{1}{(x + \sqrt{x})(y + \sqrt{y})(z + \sqrt{z})}}$ `≥ 3` $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$ `= 3/2`
Dấu “=” `↔x = y = z = 1`
Vậy $A_{Min}$ là `3/2 ↔ x =y = z = 1`
Giải thích các bước giải: