Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Cmr: `\sqrt{(xy)/(xy+z)}+\sqrt{(yz)/(yz+x)}+\sqrt{(zx)/(zx+y)}≤3/2` 02/11/2021 Bởi Natalia Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Cmr: `\sqrt{(xy)/(xy+z)}+\sqrt{(yz)/(yz+x)}+\sqrt{(zx)/(zx+y)}≤3/2`
Đáp án + giải thích các bước giải: `xy+z=xy+z(x+y+z)=xy+zx+zy+z^2=x(y+z)+z(y+z)=(x+z)(y+z)` `->(xy)/(xy+z)=(xy)/((x+z)(y+z))` Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: `\sqrt{(xy)/((x+z)(y+z))}=\sqrt{x/(x+z) . y/(y+z)}<=(x/(x+z)+y/(y+z))/2` Tương tự, có: `\sqrt{(xy)/(xy+z)}+\sqrt{(yz)/(yz+x)}+\sqrt{(zx)/(zx+y)}<=(x/(x+z)+y/(y+z)+y/(x+y)+z/(x+z)+x/(x+y)+z/(y+z))/2=(1+1+1)/2=3/2` Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=1/3` Bình luận
Đáp án: Ở dưới `downarrow` Giải thích các bước giải: Đặt biểu thức là M `x+y+z=1` `=>z.1=z^2+zx+zy` `=>xy+z=z^2+zx+xy+zy` `=>xy+z=x(x+z)+y(x+z)` `=>xy+z=(x+z)(y+z)` Áp dụng BĐT cosi ta có: `x/(x+z)+y/(z+y)>=2\sqrt{(xy)/((x+z)(y+z))` `=>\sqrt{(xy)/(xy+z)}<=1/2(x/(x+z)+y/(z+y))` Hoàn toàn tương tự: `\sqrt{(zy)/(zy+x)}<=1/2(y/(x+y)+z/(x+z))` `\sqrt{(zx)/(zx+y)}<=1/2(z/(z+y)+x/(x+y))` `=>M<=3/2(ĐPCM)` Bình luận
Đáp án + giải thích các bước giải:
`xy+z=xy+z(x+y+z)=xy+zx+zy+z^2=x(y+z)+z(y+z)=(x+z)(y+z)`
`->(xy)/(xy+z)=(xy)/((x+z)(y+z))`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`\sqrt{(xy)/((x+z)(y+z))}=\sqrt{x/(x+z) . y/(y+z)}<=(x/(x+z)+y/(y+z))/2`
Tương tự, có:
`\sqrt{(xy)/(xy+z)}+\sqrt{(yz)/(yz+x)}+\sqrt{(zx)/(zx+y)}<=(x/(x+z)+y/(y+z)+y/(x+y)+z/(x+z)+x/(x+y)+z/(y+z))/2=(1+1+1)/2=3/2`
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=1/3`
Đáp án:
Ở dưới `downarrow`
Giải thích các bước giải:
Đặt biểu thức là M
`x+y+z=1`
`=>z.1=z^2+zx+zy`
`=>xy+z=z^2+zx+xy+zy`
`=>xy+z=x(x+z)+y(x+z)`
`=>xy+z=(x+z)(y+z)`
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x/(x+z)+y/(z+y)>=2\sqrt{(xy)/((x+z)(y+z))`
`=>\sqrt{(xy)/(xy+z)}<=1/2(x/(x+z)+y/(z+y))`
Hoàn toàn tương tự:
`\sqrt{(zy)/(zy+x)}<=1/2(y/(x+y)+z/(x+z))`
`\sqrt{(zx)/(zx+y)}<=1/2(z/(z+y)+x/(x+y))`
`=>M<=3/2(ĐPCM)`