cho x,y,z>0 và $\sqrt[]{x}$ + $\sqrt[]{y}$ + $\sqrt[]{z}$ =1
tìm GTLN của:
P= $\sqrt[]{xyz}$ ( $\frac{1}{\sqrt[]{(x+y)(y+z)} }$ + $\frac{1}{\sqrt[]{(x+z)(y+z)} }$ +$\frac{1}{\sqrt[]{(x+y)(x+z)} }$)
cho x,y,z>0 và $\sqrt[]{x}$ + $\sqrt[]{y}$ + $\sqrt[]{z}$ =1
tìm GTLN của:
P= $\sqrt[]{xyz}$ ( $\frac{1}{\sqrt[]{(x+y)(y+z)} }$ + $\frac{1}{\sqrt[]{(x+z)(y+z)} }$ +$\frac{1}{\sqrt[]{(x+y)(x+z)} }$)
Đáp án:
ngủ rùi còn đi kêu ko -o- .-.
Áp dụng BĐT `AM-GM` ta có :
`P = 1/2 \sqrt{xyz}(2/(\sqrt{(x + y)(y + z)}) + 2/(\sqrt{(x + z)(y + z)}) + 2/(\sqrt{(x + y)(x + z)})) <= 1/2 \sqrt{xyz}(1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(x + z) + 1/(y + z) + 1/(x + y) + 1/(x + z)) = \sqrt{xyz}(1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(z + x)) <= \sqrt{xyz}(1/(2\sqrt{xy}) + 1/(2\sqrt{yz}) + 1/(2\sqrt{zx}) ) = (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})/2 = 1/2`
Dấu “=” `<=> x = y = z = 1/9`
Vậy `P_{Max} = 1/2 <=> x = y = z = 1/9`
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT CauChy ta có :
`P =\sqrt{xyz}(1/(\sqrt{(x + y)(y + z)}) + 1/(\sqrt{(x + z)(y + z)}) + 1/(\sqrt{(x + y)(x + z)}))`
`<=> P = 1/2 \sqrt{xyz}(2/(\sqrt{(x + y)(y + z)}) + 2/(\sqrt{(x + z)(y + z)}) + 2/(\sqrt{(x + y)(x + z)})) `
`<= 1/2 \sqrt{xyz}(1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(x + z) + 1/(y + z) + 1/(x + y) + 1/(x + z)) `
`= \sqrt{xyz}(1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(z + x))`
`<= \sqrt{xyz}(1/(2\sqrt{xy}) + 1/(2\sqrt{yz}) + 1/(2\sqrt{zx}) )`
`= \sqrt{xyz}/(2\sqrt{xy}) + \sqrt{xyz}/(2\sqrt{yz}) + \sqrt{xyz}/(2\sqrt{zx}) `
`= (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})/2`
`= 1/2 (sqrt{x} + sqrt{y} + sqrt{z} =1 ) `
`Dấu “=” <=> x = y = z = 1/9`
Vậy Max `P =1/2`