Cho x,y,z > 0 và x + y + z = $\frac{$\pi$}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của
y = √1+tan x.tan y + √1+tan y x.tan z + √1+tan z.tan x
A. $y_{max}$ = 1+2√2 B. $y_{max}$ = 3√3 C. $y_{max}$ = √3 D. $y_{max}$ = 2√3
Cho x,y,z > 0 và x + y + z = $\frac{$\pi$}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của y = √1+tan x.tan y + √1+tan y x.tan z + √1+tan z.tan x A. $y_{
By aikhanh
Đáp án: $D. P_{max} = 2 \sqrt[]{3}$ khi $ x = y = z = \frac{π}{6}$
Giải thích các bước giải:
$x + y + z = \frac{π}{2} ⇔ x + y = \frac{π}{2} – z $
$ ⇔ tan(x + y) = tan(\frac{π}{2} – z) ⇔ \frac{tanx + tany}{1 – tanxtany} = cotz = \frac{1}{tanz}$
$ ⇔ tanztanx + tanytanz = 1 – tanxtany $
$ ⇔ tanxtany + tanytanz + tanztanx = 1$
Áp dụng $BĐT$ Bunnhiacopsky:
$ ad + be + cf ≤ \sqrt[]{a² + b² + c²}.\sqrt[]{d² + e² + f²}$
$ P = \sqrt[]{1 + tanxtany} + \sqrt[]{1 + tanytanz} + \sqrt[]{1 + tanztanx}$
$ = 1.\sqrt[]{1 + tanxtany} + 1.\sqrt[]{1 + tanytanz} + 1.\sqrt[]{1 + tanztanx}$
$ ≤ \sqrt[]{1² + 1² + 1²}.\sqrt[]{( 1 + tanxtany) + (1 + tanytanz) + (1 + tanztanx)}$
$ = \sqrt[]{3} \sqrt[]{3 + (tanxtany + tanytanz + tanztanx)} = \sqrt[]{3} \sqrt[]{3 + 1} = 2 \sqrt[]{3}$
$ ⇒ P_{max} = 2 \sqrt[]{3}$ khi $ x = y = z = \frac{π}{6}$
Ta có x+y+z=$\frac{\pi }{2}$ ⇔ x+y=$\frac{\pi }{2}$-z ⇔ tan (x+y)=tan ($\frac{\pi }{2}$-2)
⇔$\frac{tanx+tany}{1-tanx.tany}$=$\frac{1}{tanz}$
⇔tanx.tany+tany.tanz=1-tanx.tany
⇔tanx.tanz+tany.tanz+tanx.tany=1
Ta thấy tanx.tanz;tany.tanz;tanx.tany lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:
1.√1+tanx.tany+1.√1+tany.tanz+1.√1+tanz.tanx
≤√1²+1²+1².√1+tanx.tanz+1+tany.tanz+1+tanx.tany
=√3.√3+(tanx tany+tany tanz+tanz tanx)=2√3
Vậy $y_{max}$=2√3