Cho x, y, z >0, xy+yz+xz=3xyz. Tìm gtnn của A=x^2/z(z^2+x^2) +y^2/x(x^2+z^2) + z^2/y(y^2+z^2)

0 bình luận về “Cho x, y, z >0, xy+yz+xz=3xyz. Tìm gtnn của A=x^2/z(z^2+x^2) +y^2/x(x^2+z^2) + z^2/y(y^2+z^2)”

1. Đáp án:

   GTNN$ A =\dfrac 32$ khi $x = y = z = 1$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $xy + yz + zx = 3xyz$ (vì $x,y,z>0$ nên $xyz>0$ ta chia cả hai vế cho $xyz$)

   $ ⇔ \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z = 3$ (*)

   Mặt khác :

   $(z – x)² ≥ 0 $

   $⇔ z² – 2zx + x² ≥ 0$

   $ ⇔ – 2zx ≥ – (z² + x²)$

   $  ⇔ – \dfrac z{z² + x²} ≥ -\dfrac 1{2x}$ (1)

   Tương tự:

   $- \dfrac x{x² + y²} ≥ -\dfrac 1{2y}$ (2)

   $-\dfrac y{y² + z²} ≥ -\dfrac 1{2z}$ (3)

   Lấy (1) + (2) +(3) vế theo vế :

   $- \left({\dfrac z{z² + x²} + \dfrac x{x² + y²} +\dfrac y{y² + z²}}\right) ≥ – \dfrac12\left({\dfrac1x +\dfrac 1y +\dfrac 1z}\right)$ (**)

   Từ (*) và (**) ta có:

   $A =\dfrac {x²}{z(z² + x²)} + \dfrac {y²}{x(x² + y²)} +\dfrac {z²}{y(y² + z²)}$

   $= \left({\dfrac1z -\dfrac z{z² + x²}}\right) +\left({ \dfrac1x -\dfrac x{x² + y²}}\right) + \left({\dfrac1y – \dfrac y{y² + z²}}\right)$

   $=\left ({\dfrac1x +\dfrac 1y +\dfrac 1z}\right) – \left({\dfrac z{z² + x²} +\dfrac x{x² + y²} +\dfrac y{y² + z²}}\right)$

   $≥\left ({\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z}\right) -\dfrac 12\left({\dfrac1x +\dfrac 1y + \dfrac1z}\right) $

   $=\dfrac 12\left({\dfrac1x +\dfrac 1y +\dfrac 1z}\right) ≥\dfrac 32$

   Bình luận