Cho x,y,z>0.: x+y+z=1. Tìm Min C=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2 19/07/2021 Bởi Jade Cho x,y,z>0.: x+y+z=1. Tìm Min C=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2
Đáp án: Giải thích các bước giải: Áp dụnglần lượt $BĐT : a² + b² + c² ≥ \dfrac{1}{3}(a + b + b)² $ Và $BĐT$ Cô si cho 3 số: $(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) ≥ (3\sqrt[3]{xyz})(3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}) = 9$ $ ⇔ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} ≥ \dfrac{9}{x + y + z} = \dfrac{9}{1} = 9$ Ta có : $ C = (x + \dfrac{1}{x})² + (y + \dfrac{1}{y})² + (z + \dfrac{1}{z})²$ $ = x² + y² + z² + \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{y²} + \dfrac{1}{z²} + 6$ $ ≥ \dfrac{1}{3}(x + y + z)² + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})²$ $ ≥ \dfrac{1}{3}.1² + \dfrac{1}{3}.9² + 6 = \dfrac{100}{3}$ Vậy $ MinC = \dfrac{100}{3} ⇔ x = y = z = \dfrac{1}{3}$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụnglần lượt $BĐT : a² + b² + c² ≥ \dfrac{1}{3}(a + b + b)² $
Và $BĐT$ Cô si cho 3 số:
$(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) ≥ (3\sqrt[3]{xyz})(3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}) = 9$
$ ⇔ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} ≥ \dfrac{9}{x + y + z} = \dfrac{9}{1} = 9$
Ta có :
$ C = (x + \dfrac{1}{x})² + (y + \dfrac{1}{y})² + (z + \dfrac{1}{z})²$
$ = x² + y² + z² + \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{y²} + \dfrac{1}{z²} + 6$
$ ≥ \dfrac{1}{3}(x + y + z)² + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})²$
$ ≥ \dfrac{1}{3}.1² + \dfrac{1}{3}.9² + 6 = \dfrac{100}{3}$
Vậy $ MinC = \dfrac{100}{3} ⇔ x = y = z = \dfrac{1}{3}$