Cho x,y,z>0.: x+y+z=1. Tìm Min C=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2

0 bình luận về “Cho x,y,z>0.: x+y+z=1. Tìm Min C=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụnglần lượt $BĐT : a² + b² + c² ≥ \dfrac{1}{3}(a + b + b)² $

   Và $BĐT$ Cô si cho 3 số:

   $(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) ≥ (3\sqrt[3]{xyz})(3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}) = 9$ 

   $ ⇔ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} ≥ \dfrac{9}{x + y + z} = \dfrac{9}{1} = 9$

   Ta có :

   $ C = (x + \dfrac{1}{x})² + (y + \dfrac{1}{y})² + (z + \dfrac{1}{z})²$

   $ = x² + y² + z² + \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{y²} + \dfrac{1}{z²} + 6$

   $ ≥ \dfrac{1}{3}(x + y + z)² + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})²$

   $ ≥ \dfrac{1}{3}.1² + \dfrac{1}{3}.9² + 6 = \dfrac{100}{3}$

   Vậy $ MinC = \dfrac{100}{3} ⇔ x = y = z = \dfrac{1}{3}$

    

   Trả lời