Toán cho x+y+z=1 chứng minh $x^{2}$+$y^{2}$+$z^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{3}$ 07/10/2021 By Josie cho x+y+z=1 chứng minh $x^{2}$+$y^{2}$+$z^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{3}$
Đáp án: Giải thích các bước giải: ta có : $x^{2}$ +$y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ $\frac{(x+y+z)^2}{1+1+1}$(schwarz) ⇒$x^{2}$ +$y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{3}$ (vì x+y+z=1) (đpcm) Trả lời
Giải thích các bước giải: Ta thấy : $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≥ 0 $ $⇔2.(x^2+y^2+z^2)-2.(xy+yz+zx) ≥ 0 $ $⇔ 2.(x^2+y^2+z^2) ≥ 2.(xy+yz+zx)$ $⇔ 2.(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2) ≥ 2.(xy+yz+zx) + (x^2+y^2+z^2)$ $⇔3.(x^2+y^2+z^2) ≥ (x+y+z)^2 = 1$ $⇔ x^2+y^2+z^2 ≥ \dfrac{1}{3}$ Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$ Trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ta có :
$x^{2}$ +$y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ $\frac{(x+y+z)^2}{1+1+1}$(schwarz)
⇒$x^{2}$ +$y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{3}$ (vì x+y+z=1)
(đpcm)
Giải thích các bước giải:
Ta thấy : $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≥ 0 $
$⇔2.(x^2+y^2+z^2)-2.(xy+yz+zx) ≥ 0 $
$⇔ 2.(x^2+y^2+z^2) ≥ 2.(xy+yz+zx)$
$⇔ 2.(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2) ≥ 2.(xy+yz+zx) + (x^2+y^2+z^2)$
$⇔3.(x^2+y^2+z^2) ≥ (x+y+z)^2 = 1$
$⇔ x^2+y^2+z^2 ≥ \dfrac{1}{3}$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$