Cho x ² + y ² + z ² = 3 và x; y; z >0 . Tìm giá trị lớn nhất của
M= $\frac{xyz}{x^{2}+yz}$ + $\frac{xyz}{y^{2}+zx}$+$\frac{xyz}{z^{2}+xy}$
Cho x ² + y ² + z ² = 3 và x; y; z >0 . Tìm giá trị lớn nhất của
M= $\frac{xyz}{x^{2}+yz}$ + $\frac{xyz}{y^{2}+zx}$+$\frac{xyz}{z^{2}+xy}$
Đáp án: $M\le\dfrac32$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$x^2+yz\ge 2\sqrt{x^2\cdot yz}=2x\sqrt{yz}$
$\to\dfrac{xyz}{x^2+yz}\le \dfrac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=\dfrac{\sqrt{yz}}{2}\le \dfrac{y+z}{4}$
$\to\dfrac{xyz}{x^2+yz}\le \dfrac{y+z}{4}(1)$
Tương tự ta có:
$\dfrac{xyz}{y^2+zx}\le \dfrac{z+x}{4}(2)$
$\dfrac{xyz}{z^2+xy}\le \dfrac{x+y}{4}(3)$
Cộng vế với vế của (1),(2),(3) ta được:
$M\le \dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{\sqrt{(x+y+z)^2}}{2}\le \dfrac{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{2}=\dfrac32$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$