cho x,y,z dương
CM: `(x/y)^2+(y/z)^2+(z/x)^2>=x/y+y/z+z/x`
0 bình luận về “cho x,y,z dương
CM: `(x/y)^2+(y/z)^2+(z/x)^2>=x/y+y/z+z/x`”
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}đặt A=(\dfrac{x}{y})^2+(\dfrac{y}{z})^2+(\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số} (\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{z},\dfrac{z}{x}),(1,1,1)\\3.(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}) \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔3A \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT cauchy ta có}\\\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 3\\\text{nhân các vế BĐT với nhau ta có}\\3A.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}) \geq 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔A \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}(ĐPCM)\\\text{dấu = xảy ra khi x=y=z}\\\end{array}$
$\begin{array}{l}đặt A=(\dfrac{x}{y})^2+(\dfrac{y}{z})^2+(\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số} (\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{z},\dfrac{z}{x}),(1,1,1)\\3.(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}) \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔3A \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT cauchy ta có}\\\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 3\\\text{nhân các vế BĐT với nhau ta có}\\3A.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}) \geq 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔A \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}(ĐPCM)\\\text{dấu = xảy ra khi x=y=z}\\\end{array}$
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}đặt A=(\dfrac{x}{y})^2+(\dfrac{y}{z})^2+(\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số} (\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{z},\dfrac{z}{x}),(1,1,1)\\3.(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}) \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔3A \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT cauchy ta có}\\\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 3\\\text{nhân các vế BĐT với nhau ta có}\\3A.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}) \geq 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔A \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}(ĐPCM)\\\text{dấu = xảy ra khi x=y=z}\\\end{array}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}đặt A=(\dfrac{x}{y})^2+(\dfrac{y}{z})^2+(\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số} (\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{z},\dfrac{z}{x}),(1,1,1)\\3.(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}) \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔3A \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\\text{áp dụng BĐT cauchy ta có}\\\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 3\\\text{nhân các vế BĐT với nhau ta có}\\3A.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}) \geq 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})^2\\↔A \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}(ĐPCM)\\\text{dấu = xảy ra khi x=y=z}\\\end{array}$