Cho x;y;z dương thỏa mãn x^2 + y^2 +z^2 =3
CMR: 3(x+y+z) + 2(1/x+1/y+1/z) >= 15
(làm giúp e bằng pp hệ số bất định vs ạ)
Cho x;y;z dương thỏa mãn x^2 + y^2 +z^2 =3
CMR: 3(x+y+z) + 2(1/x+1/y+1/z) >= 15
(làm giúp e bằng pp hệ số bất định vs ạ)
Đáp án:
Viết `VT` lại như sau :
`VT = (3x+ 2/x) + (3y + 2/y) + (3z + 2/z)`
BĐT phụ cần `cm` có dạng `3∝ + 2/∝ >= m∝^2 + n (∀ 0 < ∝ < \sqrt{3})`
Điểm rơi `x = y = z = 1 -> VT = 15`
ta tìm `n` theo `m` , áp dụng nhận xét về dạng của BĐT phụ trên ta có :
`VT >= m(x^2 + y^2 + z^2) + 3m = 3m + 3n`
`-> 15 = 3m + 3n -> m+ n = 5 -> n = 5 – m`
Do đó BĐT phụ có dạng : `3∝ + 2/∝ >= m∝^2 + 5 – m = m(∝^2 – 1) + 5`
`-> 3∝ + 2/∝ – 5 >= m(∝ – 1)(∝ + 1)`
`->[(3∝ – 2)(∝ – 1)]/∝ >= m(∝ – 1)(∝ + 1)`
`-> [(3∝ – 2)(∝ – 1)]/∝ – m(∝ – 1)(∝ + 1) >= 0`
`-> (∝ – 1)[(3∝ – 2)/∝ – m(∝ + 1)] >= 0 (1)`
Do dấu “=” `∝ = 1` với mọi `∝ > 0` nên `(1)` có nghiệm kép là `1`
`-> (3 . 1 – 2)/1 – m(1 + 1) = 0 -> m= 1/2 -> n = 5 – 1/2 = 9/2`
Vậy BĐT phụ cần `cm` là `3∝ + 2/∝ >= 1/2 ∝^2 + 9/2`
`<=> [(x – 1)^2(4 – x)]/(2x) >= 0 ( luôn đúng , ∀0 < ∝ < \sqrt{3})`
Áp dụng BĐT phụ trên ta có :
`VT >= 1/2 (x^2 + y^2 + z^2) + 27/2 = 1/2 . 3 + 27/2 = 15 = VP`
Dấu “=” `<=> x= y = z= 1`
Giải thích các bước giải: