Cho x, y, z $\geq$ 0 và x+y+z$\leq$ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=$\frac{1}{1+x}$ +$\frac{1}{1+y}$ +$\frac{1}{1+z}$

0 bình luận về “Cho x, y, z $\geq$ 0 và x+y+z$\leq$ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=$\frac{1}{1+x}$ +$\frac{1}{1+y}$ +$\frac{1}{1+z}$”

1. Ta có: `A=1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)`

   Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

   `A≥(1+1+1)^2/(1+x+1+y+1+z)=9/(x+y+z+3)≥9/(3+3)=3/2`

   Dấu ”=” xảy ra khi `x=y=z=1`

   Vậy `A_{min}=3/2⇔x=y=z=1`.

   Bình luận

2. Đáp án:

   $\min A = \dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z=  1$ 

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng định lý $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

   $\quad \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1+y} + \dfrac{1}{1+z} \geqslant \dfrac{(1+1+1)^2}{1+x+1+y+1+z}$

   $\Leftrightarrow A \geqslant \dfrac{9}{x+y+z+3} = \dfrac{9}{3+3} = \dfrac{3}{2}$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z = 1$

   Vậy $\min A = \dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z=  1$

   Bình luận