Cho x, y, z $\geq$ 0 và x+y+z$\leq$ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=$\frac{1}{1+x}$ +$\frac{1}{1+y}$ +$\frac{1}{1+z}$ 17/07/2021 Bởi Madeline Cho x, y, z $\geq$ 0 và x+y+z$\leq$ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=$\frac{1}{1+x}$ +$\frac{1}{1+y}$ +$\frac{1}{1+z}$
Ta có: `A=1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)` Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có: `A≥(1+1+1)^2/(1+x+1+y+1+z)=9/(x+y+z+3)≥9/(3+3)=3/2` Dấu ”=” xảy ra khi `x=y=z=1` Vậy `A_{min}=3/2⇔x=y=z=1`. Bình luận
Đáp án: $\min A = \dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z= 1$ Giải thích các bước giải: Áp dụng định lý $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được: $\quad \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1+y} + \dfrac{1}{1+z} \geqslant \dfrac{(1+1+1)^2}{1+x+1+y+1+z}$ $\Leftrightarrow A \geqslant \dfrac{9}{x+y+z+3} = \dfrac{9}{3+3} = \dfrac{3}{2}$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z = 1$ Vậy $\min A = \dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z= 1$ Bình luận
Ta có: `A=1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)`
Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:
`A≥(1+1+1)^2/(1+x+1+y+1+z)=9/(x+y+z+3)≥9/(3+3)=3/2`
Dấu ”=” xảy ra khi `x=y=z=1`
Vậy `A_{min}=3/2⇔x=y=z=1`.
Đáp án:
$\min A = \dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z= 1$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng định lý $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1+y} + \dfrac{1}{1+z} \geqslant \dfrac{(1+1+1)^2}{1+x+1+y+1+z}$
$\Leftrightarrow A \geqslant \dfrac{9}{x+y+z+3} = \dfrac{9}{3+3} = \dfrac{3}{2}$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z = 1$
Vậy $\min A = \dfrac32 \Leftrightarrow x = y = z= 1$