Cho `x, y, z \in R`; Tìm `GTN“N`: `P=|2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|` 31/10/2021 Bởi Charlie Cho `x, y, z \in R`; Tìm `GTN“N`: `P=|2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|`
`=>` Ta có: `|2x+3y| \ge 0 \forall x; y` `|4y+5z| \ge 0 \forall y; z` `|xy+yz+xz+110| \ge 0 forall x; y; z` `=> |2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110| \ge 110 \forall x; y; z` `=> P\ge 0` Dấu “`=`” xảy ra: `=>`$\begin{cases} |2x + 3y|=0 \\ |4y+5z|=0 \\ |xy+yz+xz+110|=0 \\\end{cases}$ Ta có: `|2x+3y|=0` `=> 2x+3y=0` `=> 2x=-3y` `=> x/{-3}=y/2` `=> x/15=y/{-10}` `(1)` `|4y+5z|=0` `=> 4y+5z=0` `=> 4y=-5z` `=> y/(-5)=z/4` `=> y/(-10)=z/8` `(2)` `|xy+yz+xz+110|=0` `=> xy+yz+xz+110` `(***)` Từ `(1)` và `(2)` `=> x/15=y/(-10)=z/8` Đặt `x/15=y/(-10)=z/8=k` `=> x=15k; y=-10k; z=8k` `(******)` Thay `(******)` vào `(***)` ta có: `15k. (-10)k+ (-10k). 8k+ 15k. 8k+ 110=0` `=> -150 k^2+(-80) k^2+120 k^2=-110` `=> -110. k^2=-110` `=> k^2=1` `=> k=1` hoặc `k=-1` $+)$ Với `k=1` `=>` $\begin{cases} x=15. 1 \Rightarrow x=15 \\ y=-10. 1 \Rightarrow y=-10 \\ z=8. 1=8 \\\end{cases}$ $+)$ Với `k=-1` `=>` $\begin{cases} x=15. (-1) \Rightarrow x=-15 \\ y=-10. (-1) \Rightarrow y=10 \\ z=8. (-1) \Rightarrow z=-8 \\\end{cases}$ Vậy `P` đạt GTNN là `0` khi `(x; y; z)=(-15; 10; -8); (15; -10; 8)`. Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có : $\begin{cases} |2x+3y|≥0 ∀x,y \\|4y+5z|≥0 ∀y,z\\ |xy+yz+xz+110|≥0 ∀x,y,z \\\end{cases}$ `=> |2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|>=0` Dấu “=” xảy ra `<=>` $\begin{cases} |2x+3y|=0\\|4y+5z|=0\\ |xy+yz+xz+110|=0 \\\end{cases}$ `=>`$\begin{cases} 2x=-3y\\4y=-5z\\ xy+yz+xz+110=0 \\\end{cases}$`=>`$\begin{cases} \dfrac{x}{-3}=\dfrac{y}{2} ⇒ \dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{-10} (1)\\ \dfrac{y}{-5}=\dfrac{z}{4}⇒\dfrac{y}{-10}=\dfrac{z}{8} (2) \\xy+yz+xz+110=0 (3)\\\end{cases}$ Từ `(1)` và `(2) => x/15=y/(-10)=z/8` Đặt `x/15=y/(-10)=z/8=k =>`$\begin{cases} x=15k\\y=-10k\\z=8k \\\end{cases}$ Thay vào `(3)` ta được : `15k.(-10)k+(-10k).8k+15k.8k+110=0` `=> -150k^2-80k^2+120k^2+110=0` `=> -110k^2=-110` `=> k^2=1“=>` \(\left[ \begin{array}{l}k=1\\k=-1\end{array} \right.\) Với `k=1` thì `x=15; y=-10; z=8` Với `k=-1` thì `x=-15; y=10; z=-8` Vậy `P_(min)=0 <=> (x; y; z)=(-15; 10; -8); (15; -10; 8)` Bình luận
`=>`
Ta có:
`|2x+3y| \ge 0 \forall x; y`
`|4y+5z| \ge 0 \forall y; z`
`|xy+yz+xz+110| \ge 0 forall x; y; z`
`=> |2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110| \ge 110 \forall x; y; z`
`=> P\ge 0`
Dấu “`=`” xảy ra:
`=>`$\begin{cases} |2x + 3y|=0 \\ |4y+5z|=0 \\ |xy+yz+xz+110|=0 \\\end{cases}$
Ta có: `|2x+3y|=0`
`=> 2x+3y=0`
`=> 2x=-3y`
`=> x/{-3}=y/2`
`=> x/15=y/{-10}` `(1)`
`|4y+5z|=0`
`=> 4y+5z=0`
`=> 4y=-5z`
`=> y/(-5)=z/4`
`=> y/(-10)=z/8` `(2)`
`|xy+yz+xz+110|=0`
`=> xy+yz+xz+110` `(***)`
Từ `(1)` và `(2)` `=> x/15=y/(-10)=z/8`
Đặt `x/15=y/(-10)=z/8=k`
`=> x=15k; y=-10k; z=8k` `(******)`
Thay `(******)` vào `(***)` ta có:
`15k. (-10)k+ (-10k). 8k+ 15k. 8k+ 110=0`
`=> -150 k^2+(-80) k^2+120 k^2=-110`
`=> -110. k^2=-110`
`=> k^2=1`
`=> k=1` hoặc `k=-1`
$+)$ Với `k=1`
`=>` $\begin{cases} x=15. 1 \Rightarrow x=15 \\ y=-10. 1 \Rightarrow y=-10 \\ z=8. 1=8 \\\end{cases}$
$+)$ Với `k=-1`
`=>` $\begin{cases} x=15. (-1) \Rightarrow x=-15 \\ y=-10. (-1) \Rightarrow y=10 \\ z=8. (-1) \Rightarrow z=-8 \\\end{cases}$
Vậy `P` đạt GTNN là `0` khi `(x; y; z)=(-15; 10; -8); (15; -10; 8)`.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$\begin{cases} |2x+3y|≥0 ∀x,y \\|4y+5z|≥0 ∀y,z\\ |xy+yz+xz+110|≥0 ∀x,y,z \\\end{cases}$
`=> |2x+3y|+|4y+5z|+|xy+yz+xz+110|>=0`
Dấu “=” xảy ra `<=>` $\begin{cases} |2x+3y|=0\\|4y+5z|=0\\ |xy+yz+xz+110|=0 \\\end{cases}$
`=>`$\begin{cases} 2x=-3y\\4y=-5z\\ xy+yz+xz+110=0 \\\end{cases}$`=>`$\begin{cases} \dfrac{x}{-3}=\dfrac{y}{2} ⇒ \dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{-10} (1)\\ \dfrac{y}{-5}=\dfrac{z}{4}⇒\dfrac{y}{-10}=\dfrac{z}{8} (2) \\xy+yz+xz+110=0 (3)\\\end{cases}$
Từ `(1)` và `(2) => x/15=y/(-10)=z/8`
Đặt `x/15=y/(-10)=z/8=k =>`$\begin{cases} x=15k\\y=-10k\\z=8k \\\end{cases}$
Thay vào `(3)` ta được : `15k.(-10)k+(-10k).8k+15k.8k+110=0`
`=> -150k^2-80k^2+120k^2+110=0`
`=> -110k^2=-110`
`=> k^2=1“=>` \(\left[ \begin{array}{l}k=1\\k=-1\end{array} \right.\)
Với `k=1` thì `x=15; y=-10; z=8`
Với `k=-1` thì `x=-15; y=10; z=-8`
Vậy `P_(min)=0 <=> (x; y; z)=(-15; 10; -8); (15; -10; 8)`