Toán Cho x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=3 CMR: x ² + y ² + z ² + xyz ≥ 4 20/09/2021 By Athena Cho x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=3 CMR: x ² + y ² + z ² + xyz ≥ 4
Đáp án: Giải thích các bước giải: Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có x+y+z=3 $\rightarrow$ (1-x)+(1-y)+(1-z)=0 Trong ba số 1-x,1-y,1-z tồn tại hai số cùng dấu. Do vai trò của x,y,z như nhau nên giả sử 1-x,1-y cùng dấu $=> (1-x)(1-y)\geq 0\Leftrightarrow 1+xy\geq x+y \Rightarrow z+xyz \geq xz+yz \quad \text{hay} \quad xyz \geq xz+yz-z\\ => A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz >= x^{2}+y^{2}+z^{2}+xz+yz-z\\ \Leftrightarrow A \geq z^{2}+y^{2}+z(x+y+z)-z\\ \Leftrightarrow A\geq x^{2}+y^{2}+3z-z=x^{2}+y^{2}+2z=x^{2}+y^{2}+2(3-x-y)\\ \Leftrightarrow A\geq x^{2}+y^{2}-2(x+y)+6\\ \text{Mặt khác}x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}* (x+y)^{2} \Rightarrow A\geq \frac{1}{2}*(x+y)^{2}-2(x+y)+6= \frac{1}{2}(x+y-2)^{2}+4 \geq 4\\ \text{Vậy min A=4. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x=y=1=> z=1}$ Trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có x+y+z=3 $\rightarrow$ (1-x)+(1-y)+(1-z)=0
Trong ba số 1-x,1-y,1-z tồn tại hai số cùng dấu.
Do vai trò của x,y,z như nhau nên giả sử 1-x,1-y cùng dấu
$=> (1-x)(1-y)\geq 0\Leftrightarrow 1+xy\geq x+y \Rightarrow z+xyz \geq xz+yz \quad \text{hay} \quad xyz \geq xz+yz-z\\
=> A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz >= x^{2}+y^{2}+z^{2}+xz+yz-z\\
\Leftrightarrow A \geq z^{2}+y^{2}+z(x+y+z)-z\\
\Leftrightarrow A\geq x^{2}+y^{2}+3z-z=x^{2}+y^{2}+2z=x^{2}+y^{2}+2(3-x-y)\\
\Leftrightarrow A\geq x^{2}+y^{2}-2(x+y)+6\\
\text{Mặt khác}x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}* (x+y)^{2} \Rightarrow A\geq \frac{1}{2}*(x+y)^{2}-2(x+y)+6= \frac{1}{2}(x+y-2)^{2}+4 \geq 4\\
\text{Vậy min A=4. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x=y=1=> z=1}$