Cho x y z là 3 số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng x+y/z +y+x/x +z+x/y > hoặc bằng 6 03/12/2021 Bởi Julia Cho x y z là 3 số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng x+y/z +y+x/x +z+x/y > hoặc bằng 6
$\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y} +3$ $= \left(\dfrac{x+y}{z}+1\right) + \left(\dfrac{y + z}{x}+1\right) + \left(\dfrac{z + x}{y}+1\right)$ $=\dfrac{x + y + z}{z} + \dfrac{ x+ y + z}{y}+ \dfrac{x + y + z}{y}$ $= (x+y+z)\left(\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\right)$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được: $x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$ $\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}$ Do đó: $(x+y+z)\left(\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\right)\geq 9\sqrt[3]{xyz\cdot\dfrac{1}{xyz}}=9$ Hay $\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y} +3\geq 9$ Vậy $\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y}\geq 6$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z$ Bình luận
$\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y} +3$
$= \left(\dfrac{x+y}{z}+1\right) + \left(\dfrac{y + z}{x}+1\right) + \left(\dfrac{z + x}{y}+1\right)$
$=\dfrac{x + y + z}{z} + \dfrac{ x+ y + z}{y}+ \dfrac{x + y + z}{y}$
$= (x+y+z)\left(\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\right)$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}$
Do đó:
$(x+y+z)\left(\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\right)\geq 9\sqrt[3]{xyz\cdot\dfrac{1}{xyz}}=9$
Hay $\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y} +3\geq 9$
Vậy $\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y}\geq 6$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z$