Cho x y z là 3 số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng x+y/z +y+x/x +z+x/y > hoặc bằng 6

$\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y} +3$

$= \left(\dfrac{x+y}{z}+1\right) + \left(\dfrac{y + z}{x}+1\right) + \left(\dfrac{z + x}{y}+1\right)$

$=\dfrac{x + y + z}{z} + \dfrac{ x+ y + z}{y}+ \dfrac{x + y + z}{y}$

$= (x+y+z)\left(\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}$

Do đó:

$(x+y+z)\left(\dfrac1x +\dfrac1y +\dfrac1z\right)\geq 9\sqrt[3]{xyz\cdot\dfrac{1}{xyz}}=9$

Hay $\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y} +3\geq 9$

Vậy $\dfrac{x+y}{z} + \dfrac{y + z}{x} +\dfrac{z + x}{y}\geq 6$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z$