Cho `x,y,z` là 3 số thực khác 0 thỏa mãn:`x+y+z=a` và `1/x +1/y +1/z=1/a`
Tính giá trị biểu thức S=`(x^5-a^5)(y^7-a^7)(z^9-a^9)`
Cho `x,y,z` là 3 số thực khác 0 thỏa mãn:`x+y+z=a` và `1/x +1/y +1/z=1/a`
Tính giá trị biểu thức S=`(x^5-a^5)(y^7-a^7)(z^9-a^9)`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\dfrac{1}x+\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac1a$
$\to(\dfrac1x-\dfrac1a)+(\dfrac1y+\dfrac1z)=0$
$\to\dfrac{a-x}{ax}+\dfrac{y+z}{yz}=0$
$\to \dfrac{a-x}{ax}+\dfrac{a-x}{yz}=0$ vì $x+y+z=a\to y+z=a-x$
$\to (a-x)(\dfrac{1}{ax}+\dfrac{1}{yz})=0$
Nếu $a-x=0\to a=x\to a^5=x^5\to x^5-a^5=0\to S=0$
Nếu $a-x\ne 0$
$\to \dfrac{1}{ax}+\dfrac{1}{yz}=0$
$\to \dfrac{1}{ax}=-\dfrac{1}{yz}$
$\to ax=-yz$
$\to ax+yz=0$
$\to x(x+y+z)+yz=0$ vì $x+y+z=0$
$\to (x+y)(x+z)=0$
$\to x+y=0$ hoặc $x+z=0$
$\to z=a$ hoặc $y=a$ vì $x+y+z=a$
$\to S=0$
Ta có :
`1/x +1/y +1/z=1/a`
`⇒ 1/x+1/y+1/z=1/[x+y+z]`
`⇒ (xy+yz+zx)(x+y+z)=xyz`
`⇒ x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+2xyz=0`
`⇒ (x^2y+xy^2)+(yz^2+xz^2)+(y^2z+x^2z+2xyz)=0`
`⇒ xy(x+y)+z^2(x+y)+z(x+y)^2=0`
`⇒ (x+y)(xy+z^2+xz+yz)=0`
`⇒ (x+y)(y+z)(z+x)=0`
Vì `(x+y)(y+z)(z+x)=0` nên tích trên tồn tại một số bằng `0`
`⇒` Trong ba số `x,y,z` tồn tại một số bằng `a`
`⇒ S = (x^5-a^5)(y^7-a^7)(z^9-a^9) = 0`
Vậy `S=0`
Xin hay nhất !