cho x y z là các số dương chứng minh 1/x+1/y+1/z》(1/√xy)+(1/√yz)+(1/√zx) 02/07/2021 Bởi Clara cho x y z là các số dương chứng minh 1/x+1/y+1/z》(1/√xy)+(1/√yz)+(1/√zx)
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có BĐT: `a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc` `<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc` `<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0` `<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b,c` `=>a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc` Thay `(a,b,c)=(1/\sqrt{x},1/\sqrt{y},1/\sqrt{z})(a,b,c,x,y,z>0)` `=>(1/\sqrt{x})^2+(1/\sqrt{y})^2+(1/\sqrt{z})^2>=1/\sqrt{x}. 1/\sqrt{y}+1/\sqrt{y}. 1/\sqrt{z}+1/\sqrt{z}. 1/\sqrt{x}` `=>1/x+1/y+1/z >=1/\sqrt{xy}+1/\sqrt{yz}+1/\sqrt{zx}` Dấu `=` xảy ra `<=>x=y=z` Bình luận
Đáp án: `1/x+1/y+1/z>=1/sqrt{xy}+1/sqrt{yz}+1/sqrt{zx}` `<=>2/x+2/y+2/z>=2/sqrt{xy}+2/sqrt{yz}+2/sqrt{zx}` `<=>1/x-2/sqrt{xy}+1/y+1/y-2/sqrt{yz}+1/z+1/z-2/sqrt{zx}+1/x>=0` `<=>(sqrt{1/x}-sqrt{1/y})^2+(sqrt{1/y}-sqrt{1/z})^2+(sqrt{1/z}-sqrt{1/x})^2>=0` luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi `x=y=z.` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có BĐT:
`a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b,c`
`=>a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc`
Thay `(a,b,c)=(1/\sqrt{x},1/\sqrt{y},1/\sqrt{z})(a,b,c,x,y,z>0)`
`=>(1/\sqrt{x})^2+(1/\sqrt{y})^2+(1/\sqrt{z})^2>=1/\sqrt{x}. 1/\sqrt{y}+1/\sqrt{y}. 1/\sqrt{z}+1/\sqrt{z}. 1/\sqrt{x}`
`=>1/x+1/y+1/z >=1/\sqrt{xy}+1/\sqrt{yz}+1/\sqrt{zx}`
Dấu `=` xảy ra `<=>x=y=z`
Đáp án:
`1/x+1/y+1/z>=1/sqrt{xy}+1/sqrt{yz}+1/sqrt{zx}`
`<=>2/x+2/y+2/z>=2/sqrt{xy}+2/sqrt{yz}+2/sqrt{zx}`
`<=>1/x-2/sqrt{xy}+1/y+1/y-2/sqrt{yz}+1/z+1/z-2/sqrt{zx}+1/x>=0`
`<=>(sqrt{1/x}-sqrt{1/y})^2+(sqrt{1/y}-sqrt{1/z})^2+(sqrt{1/z}-sqrt{1/x})^2>=0` luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra khi `x=y=z.`