cho x,y,z là các số thực dương cmr 1. x^3 +y^3 >= xy ( x+y) 2. x^3+y^3/xy + y^3 +z^3 /yz + z^3 +x^3 / zx >=2(x+y+z)

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các số thực dương ta có:

1,

\(\begin{array}{l}
{x^3} + {x^3} + {y^3} \ge 3.\sqrt[3]{{{x^3}.{x^3}.{y^3}}} = 3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2}y} \right)}^3}}} = 3{x^2}y\\
{x^3} + {y^3} + {y^3} \ge 3\sqrt[3]{{{x^3}.{y^3}.{y^3}}} = 3.\sqrt[3]{{{{\left( {x{y^2}} \right)}^3}}} = 3x{y^2}\\
 \Rightarrow \left( {{x^3} + {x^3} + {y^3}} \right) + \left( {{x^3} + {y^3} + {y^3}} \right) \ge 3{x^2}y + 3x{y^2}\\
 \Leftrightarrow 3\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \ge 3\left( {{x^2}y + x{y^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy\left( {x + y} \right)
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x=y

2,

\(\begin{array}{l}
P = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{xy}} + \frac{{{y^3} + {z^3}}}{{yz}} + \frac{{{z^3} + {x^3}}}{{zx}}\\
 = \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} + \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{y} + \frac{{{z^2}}}{x} + \frac{{{x^2}}}{z}\\
\frac{{{x^2}}}{y} + y \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{y}.y}  = 2x\\
\frac{{{y^2}}}{x} + x \ge 2\sqrt {\frac{{{y^2}}}{x}.x}  = 2y\\
\frac{{{y^2}}}{z} + z \ge 2\sqrt {\frac{{{y^2}}}{z}.z}  = 2y\\
\frac{{{z^2}}}{y} + y \ge 2\sqrt {\frac{{{z^2}}}{y}.y}  = 2z\\
\frac{{{z^2}}}{x} + x \ge 2\sqrt {\frac{{{z^2}}}{x}.x}  = 2z\\
\frac{{{x^2}}}{z} + z \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{z}.z}  = 2x\\
 \Rightarrow P + 2\left( {x + y + z} \right) \ge 4\left( {x + y + z} \right)\\
 \Leftrightarrow P \ge 2\left( {x + y + z} \right)
\end{array}\)

Dấu ”=’ xảy ra khi và chỉ khi x=y=z