Cho $x^{}$ , $y^{}$ , $z^{}$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{}$ + $y^{}$ + $z^{}$ = 3.
Tìm GTNN của biểu thức :
A = $\frac{x+1}{y^{2}+ 1}$ + $\frac{y+1}{z^{2}+ 1}$ + $\frac{z+1}{x^{2}+ 1}$
Cho $x^{}$ , $y^{}$ , $z^{}$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{}$ + $y^{}$ + $z^{}$ = 3.
Tìm GTNN của biểu thức :
A = $\frac{x+1}{y^{2}+ 1}$ + $\frac{y+1}{z^{2}+ 1}$ + $\frac{z+1}{x^{2}+ 1}$
Đáp án:
Áp dụng BĐT `cô si` có
`(x + 1)/(y^2 + 1) = x + 1 – [(x + 1)y^2]/(y^2 + 1) ≥ x + 1 – [(x + 1)y^2]/(2y) = x + 1 – [(x + 1)y]/2 = x + 1 – (xy + y)/2`
tương tụ `-> (y + 1)/(z^2 + 1) ≥ y + 1 – (yz + z)/2 ; (z + 1)/(x^2 + 1) >= z + 1 – (zx + x)/2`
cộng tất cả lại ta được `A >= x + y + z + 3 – (xy + yz + zx + x + y + z)/2 ≥ x + y + z + 3 – [1/3 (x + y + z)^2 + x + y + z]/2 = 3 + 3 – (1/3 . 3^2 + 3)/2 = 3`
Dấu “=” `↔ x = y = z = 1`
Vậy $GTNN$ của `A = 3 ↔ x= y = z = 1`
Giải thích các bước giải: