Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z =6 tìm GTNN của A = x^2 / x + 2y + 3z + y^2/ y +2z +3c + z^2 / z +2x + 3y
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z =6 tìm GTNN của A = x^2 / x + 2y + 3z + y^2/ y +2z +3c + z^2 / z +2x + 3y
Đáp án:
$\min A = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 2$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$A = \dfrac{x^2}{x+2y+3z} + \dfrac{y^2}{y+2z+3x} + \dfrac{z^2}{z+2x+3y}$
$\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{6(x+y+z)} = \dfrac{x+y+z}{6} = 1$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = y =z = 2$
Vậy $\min A = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 2$
Đáp án: 1
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:
\((x+y+z)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\)
Áp dụng vào bài ta có:
\(A=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{2x+3y+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{6(x+y+z)}=1\).
Vậy \(A_{min}=1\) khi \(x=y=z=2\).