Cho `x,y,z` là các số thực không âm thỏa mãn `x^2z^2 + y^2z^2 + 1 ≤ 3z`
Tìm min `P = 1/(x + 1)^2 + 8/(y + 3)^2 + (4z^2)/(1 + 2z)^2`
Cho `x,y,z` là các số thực không âm thỏa mãn `x^2z^2 + y^2z^2 + 1 ≤ 3z`
Tìm min `P = 1/(x + 1)^2 + 8/(y + 3)^2 + (4z^2)/(1 + 2z)^2`
Đáp án:
`1/a^2 + 1/b^2 ≥ 8/(a + b)^2 ↔ (a – b)^2 >= 0 (l,đ)`
`x^2z^2 + y^2z^2 + 1 <= 3z -> x^2 + y^2 + 1/z^2 <= 3/z`.
Đặt `1/z = r -> x^2 + y^2 + r^2 <= 3r`
`2x + 2y + 4r ≤ x^2 + 1 + y^2 + 1 + r^2 + 4 ≤ 3r + 6`
`-> 2x+ 2y + r ≤ 6`
`P = 1/(x+ 1)^2 + 8/(y + 3)^2 + 1/(1/(2z) + 1)^2 ≥ 8/(x + 1/(2z) + 2)^2 + 8/(y + 3)^2 ≥ 64/(x + 1/(2z) + y + 5)^2 = 256/(2x + 2y + r + 10)^2 ≥ 256/(6 + 10)^2 = 1`
Dấu $”=” <=> x = y = 1$ `; z = 1/2`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:`min_P=1<=>x=1,y=1,z=1/2`
Giải thích các bước giải:
`x^2z^2+y^2z^2+1<=3z`
Vì `z^2>=0` nên ta chia 2 vế cho `z^2` ta có:
`<=>x^2+y^2+1/z^2<=3/z(1)`
Cần CM BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`
Áp dụng cosi:`1/a^2+1/b^2>=2/(ab)`
Vậy nhất thiết phải chứng minh `2/(ab)>=8/(a+b)^2`
`<=>1/(ab)>=4/(a+b)^2`
`<=>(a+b)^2>=4ab`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>(a-b)^2>=0`(luôn đúng)
Vậy ta có BĐT được chứng minh `1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`
Áp dụng BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`
`=>1/(x+1)^2+(4z^2)/(1+2z)^2`
`=1/(x+1)^2+1/(1+1/(2z))^2>=8/(x+2+1/(2z))`
Áp dụng BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`
`=>8/(x+2+1/(2z))+8/(y+3)^2>=64/(x+2+1/(2z)+y+3)^2=256/(2x+2y+1/z+10)^2`
`<=>P>=256/(2x+2y+1/z+10)^2`
Áp dụng cosi:`x^2+1>=2x,y^2+1>=2y,1/z^2+4>=4/z`
`<=>x^2+y^2+1/z^2+6>=2x+2y+4/z`
Mà `x^2+y^2+1/z^2<=3/z(1)`
`=>2x+2y+4/z<=3/z+6`
`<=>2x+2y+1/z<=6`
`<=>P>=256/256=1`
Dấu “=” xảy ra khi `x=1,y=1,z=1/2`
Vậy `min_P=1<=>x=1,y=1,z=1/2`