Cho `x,y,z` là các số thực không âm thỏa mãn `x^2z^2 + y^2z^2 + 1 ≤ 3z` Tìm min `P = 1/(x + 1)^2 + 8/(y + 3)^2 + (4z^2)/(1 + 2z)^2`

Đáp án:`min_P=1<=>x=1,y=1,z=1/2`

Giải thích các bước giải:

`x^2z^2+y^2z^2+1<=3z`

Vì `z^2>=0` nên ta chia 2 vế cho `z^2` ta có:

`<=>x^2+y^2+1/z^2<=3/z(1)`

Cần CM BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

Áp dụng cosi:`1/a^2+1/b^2>=2/(ab)`

Vậy nhất thiết phải chứng minh `2/(ab)>=8/(a+b)^2`

`<=>1/(ab)>=4/(a+b)^2`

`<=>(a+b)^2>=4ab`

`<=>a^2-2ab+b^2>=0`

`<=>(a-b)^2>=0`(luôn đúng)

Vậy ta có BĐT được chứng minh `1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

Áp dụng BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

`=>1/(x+1)^2+(4z^2)/(1+2z)^2`

`=1/(x+1)^2+1/(1+1/(2z))^2>=8/(x+2+1/(2z))`

Áp dụng BĐT:`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

`=>8/(x+2+1/(2z))+8/(y+3)^2>=64/(x+2+1/(2z)+y+3)^2=256/(2x+2y+1/z+10)^2`

`<=>P>=256/(2x+2y+1/z+10)^2`

Áp dụng cosi:`x^2+1>=2x,y^2+1>=2y,1/z^2+4>=4/z`

`<=>x^2+y^2+1/z^2+6>=2x+2y+4/z`

Mà `x^2+y^2+1/z^2<=3/z(1)`

`=>2x+2y+4/z<=3/z+6`

`<=>2x+2y+1/z<=6`

`<=>P>=256/256=1`

Dấu “=” xảy ra khi `x=1,y=1,z=1/2`

Vậy `min_P=1<=>x=1,y=1,z=1/2`