cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + xz = 6 CMR : x ² +y ²+z ² ≥ 3

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ x² + y² ≥ 2xy $ . Dấu $’=’ ⇔ x = y$

$ y² + z² ≥ 2yz $ . Dấu $’=’ ⇔ y = z$

$ z² + x² ≥ 2zx $  Dấu $’=’ ⇔ z = x$

$ x² + 1 ≥ 2x $ . Dấu $’=’ ⇔ x = 1$

$ y² + 1 ≥ 2y $ . Dấu $’=’ ⇔ y = 1$

$ z² + 1 ≥ 2z $ . Dấu $’=’ ⇔ z = 1$

Cộng tất cả lại :

$ 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 2.6 = 12$

$ ⇔  3(x² + y² + z²) ≥ 9 ⇔ x² + y² + z² ≥ 3 (đpcm)$

Dấu $’=’$ xảy ra khi $x = y = z = 1$

…………………………………………………….

Một cách khác để tham khảo:

Đặt $: A² = x² + y² + z² (A > 0)$

$ ⇒ 3A² = 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)² (1)$

$ ⇒ \sqrt{3}A ≥ x + y + z ⇔ 2\sqrt{3}A ≥ 2(x + y + z)(2)$

$(1) + (2) : 3A² + 2\sqrt{3}A ≥ (x + y + z)² + 2(x + y + z) (*)$

Mà theo giả thiết $: x + y + z + xy + yz + zx = 6$

$ ⇔ 2(x + y + z) + 2xy + 2yz + 2zx = 12$

$ ⇔ 2(x + y + z) + (x + y + z)² – (x² + y² + z²) = 12$

$ ⇔ 2(x + y + z) + (x + y + z)² = A² + 12 (**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra:

$ ⇒ 3A² + 2\sqrt{3}A ≥ A² + 12$

$ ⇔ A² + \sqrt{3}A – 6 ≥ 0$

$ ⇔ (A – \sqrt{3})(A + 2\sqrt{3}) ≥ 0$

$ ⇔ A – \sqrt{3} ≥ 0 ⇔ A ≥ \sqrt{3} ⇔ A² ≥ 6$

$ ⇔ x² + y² + z² ≥ 6 (đpcm)$

Dấu $’=’$ xảy ra khi $x = y = z = 1$