Cho x,y,z là các số thực thực thỏa mãn `(y + z + 1)/x = (x + z + 2)/y = (x + y – 3)/3 = 1/(x + y + z)`
tính giá trị của A = `2016x + y^{2017} + z^{2017}`
Cho x,y,z là các số thực thực thỏa mãn `(y + z + 1)/x = (x + z + 2)/y = (x + y – 3)/3 = 1/(x + y + z)`
tính giá trị của A = `2016x + y^{2017} + z^{2017}`
Tham khảo
`ĐK:x,y,z \ne 0,x+y+z \ne 0`
Theo T/C dãy tỉ số `=` nhau
`\frac{y+z+1}{x}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{x+y-3}{z}=\frac{1}{x+y+z}=\frac{y+z+1+x+z+3+x+y-3}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2`(Vì `x+y+z \ne 0)`.Do đó `x+y+z=0,5`
Thay kết quả này vào đề bài ta được
`\frac{0,5-x+1}{x}=\frac{0,5-y+2}{y}=\frac{0,5-z-3}{z}=2`
`⇒\frac{1,5-x}{x}=\frac{2,5-y}{y}=\frac{-2,5-z}{z}=2`
Do đó `x=\frac{1}{2},y=\frac{5}{6},z=\frac{-5}{6}`
Thay `x,y,z` vào `A`
`⇒A=2016.\frac{1}{2}+(\frac{5}{6})^{2017}+(\frac{-5}{6})^{2017}`
`⇒A=1008`
`\text{©CBT}`
Đáp án + Giải thích các bước giải:
`(y + z + 1)/x = (x + z + 2)/y = (x + y – 3)/z = 1/(x + y + z) = \frac{y+z+1+x+z+3+x+y-3}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2`
`⇒ 1/[x+y+z]=2`
`=>x+y+z=0,5`
$⇒\left\{\begin{matrix} y+z=0,5-x & \\ x+z=0,5-y& \\ x+y=0,5-z & \end{matrix}\right.$
Thay vào đề ta được :
`(y + z + 1)/x = (x + z + 2)/y = (x + y – 3)/3 =2`
`=> \frac{0,5-x+1}{x}=\frac{0,5-y+2}{y}=\frac{0,5-z-3}{z}=2`
`⇒\frac{1,5-x}{x}=\frac{2,5-y}{y}=\frac{-2,5-z}{z}=2`
$⇒\left\{\begin{matrix} 2x=1,5-x & \\ 2y=2,5-y & \\ 2z=-2,5-z & \end{matrix}\right.$
$⇒\left\{\begin{matrix} 3x=1,5 & \\ 3y=2,5 & \\ 3z=-2,5 & \end{matrix}\right.$
$⇒\left\{\begin{matrix} 3x=1,5 & \\ 3y=2,5 & \\ 3z=-2,5 & \end{matrix}\right.$
$⇒\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{1}2 & \\ y=\dfrac{5}6 & \\ z=-\dfrac{5}6 & \end{matrix}\right.$
Thay vào `A` ta có :
`A = 2016x + y^{2017} + z^{2017}`
`=> A= 2016 . 1/2 + (5/6)^2017 + (-5/6)^2017`
`=> A= 1008 + (5/6)^2017 – (5/6)^2017`
`=> A= 1008`
Vậy `A=1008`