Cho x,y,z là các STN cs ít nhất 1 số khác 0 và ntcn. CM rằng các số x+y+z, xy + yz + zx, xyz cũng ntcn.

0 bình luận về “Cho x,y,z là các STN cs ít nhất 1 số khác 0 và ntcn. CM rằng các số x+y+z, xy + yz + zx, xyz cũng ntcn.”

1. Gọi $d=ƯCLN(x+y+z,xyz,xy+yz+xz)\ (d \in N*)$

   $\rightarrow x+y+z \ \vdots\ d(1); xyz \ \vdots\ d(2); xy+yz+xz \ \vdots\ d(3)$

   $(1)\rightarrow x^2(x+y+z) \ \vdots\ d\rightarrow x^3+x^2(y+z) \ \vdots\ d(4)$ 

   $(3) \rightarrow x(xy+yz+xz) \ \vdots\ d \ \rightarrow x^2(y+z)+xyz \ \vdots\ d \ \rightarrow x^2(y+z)\ \vdots\ d$(theo $(2)$)

   Kết hợp với  $(4)\rightarrow x^3 \ \vdots\ d$

   Chứng minh tương tự ta được $ y^3 \ \vdots\ d;x^3 \ \vdots\ d$

   Suy ra $d=ƯC(x^3,y^3,z^3)$

   Mà x,y,z nguyên tố cùng nhau nên $d=ƯC(x^3,y^3,z^3)=1$

   Do đó $x+y+z, xy + yz + zx, xyz$ là các số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

   Bình luận