Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} <2$

Vì `x;y;z` là độ dài $3$ cạnh tam giác

`=>`$\begin{cases}x;y;z>0\\x<y+z\\y<x+z\\z<x+y\end{cases}$ (BĐT tam giác)

Ta chứng minh BĐT phụ:

Với `0<a<b` và `c>0` ta có: `ac<bc`

`\qquad a(b+c)=ab+ac<ab+bc`

`=>a(b+c)<b(a+c)`

`=>a/b<{a+c}/{b+c}` (*)

$\\$

Áp dụng (*)

Với `x<y+z`

`=>x/{y+z}<{x+x}/{y+z+x}={2x}/{x+y+z}`

`\qquad y<x+z`

`=>y/{x+z}<{y+y}/{x+z+y}={2y}/{x+y+z}`

`\qquad z<x+y`

`=>z/{x+y}<{z+z}/{x+y+z}={2z}/{x+y+z}`

$\\$

`=>x/{y+z}+y/{x+z}+z/{x+y}<{2x+2y+2z}/{x+y+z}=2`

Vậy `x/{y+z}+y/{x+z}+z/{x+y}<2`