cho x,y,z thỏa mãn x+2y+4z=12.Chứng minh 2xy/ (x+2y) + 8yz/(2y + 4z) + 4xz/ (4z+x) <= 6 Giúp mình

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $a, b > 0$ ta có :
$(a – b)² ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ 2ab$

$ ⇔ (a + b)² ≥ 4ab ⇔ \dfrac{a + b}{4} ≥ \dfrac{ab}{a + b} (*)$ 

Áp dụng $(*)$

$ \dfrac{2xy}{x + 2y} = \dfrac{x(2y)}{x + 2y} ≤ \dfrac{x + 2y}{4} (1)$

$ \dfrac{8yz}{2y + 4z} = \dfrac{(2y)(4z)}{2y + 4z} ≤ \dfrac{2y + 4z}{4} (2)$

$ \dfrac{4zx}{4z + x} = \dfrac{(4z)x}{4z + x} ≤ \dfrac{4z + x}{4} (3)$

$(1) + (2) + (3): $

$ \dfrac{2xy}{x + 2y} + \dfrac{8yz}{2y + 4z} + \dfrac{4zx}{4z + x} $

$ ≤ \dfrac{2(x + 2y + 4z)}{4} = \dfrac{2.12}{4}  = 6$

Dấu $’=’ ⇔ x = 2y = 4z ⇔ x = 4; y = 2; z = 1$