cho x,y,z thỏa mãn x+2y+4z=12.Chứng minh 2xy/ (x+2y) + 8yz/(2y + 4z) + 4xz/ (4z+x) <= 6 Giúp mình 13/11/2021 Bởi Arianna cho x,y,z thỏa mãn x+2y+4z=12.Chứng minh 2xy/ (x+2y) + 8yz/(2y + 4z) + 4xz/ (4z+x) <= 6 Giúp mình
Đáp án: Giải thích các bước giải: Với $a, b > 0$ ta có :$(a – b)² ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ 2ab$ $ ⇔ (a + b)² ≥ 4ab ⇔ \dfrac{a + b}{4} ≥ \dfrac{ab}{a + b} (*)$ Áp dụng $(*)$ $ \dfrac{2xy}{x + 2y} = \dfrac{x(2y)}{x + 2y} ≤ \dfrac{x + 2y}{4} (1)$ $ \dfrac{8yz}{2y + 4z} = \dfrac{(2y)(4z)}{2y + 4z} ≤ \dfrac{2y + 4z}{4} (2)$ $ \dfrac{4zx}{4z + x} = \dfrac{(4z)x}{4z + x} ≤ \dfrac{4z + x}{4} (3)$ $(1) + (2) + (3): $ $ \dfrac{2xy}{x + 2y} + \dfrac{8yz}{2y + 4z} + \dfrac{4zx}{4z + x} $ $ ≤ \dfrac{2(x + 2y + 4z)}{4} = \dfrac{2.12}{4} = 6$ Dấu $’=’ ⇔ x = 2y = 4z ⇔ x = 4; y = 2; z = 1$ Bình luận
Xem hình.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với $a, b > 0$ ta có :
$(a – b)² ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ 2ab$
$ ⇔ (a + b)² ≥ 4ab ⇔ \dfrac{a + b}{4} ≥ \dfrac{ab}{a + b} (*)$
Áp dụng $(*)$
$ \dfrac{2xy}{x + 2y} = \dfrac{x(2y)}{x + 2y} ≤ \dfrac{x + 2y}{4} (1)$
$ \dfrac{8yz}{2y + 4z} = \dfrac{(2y)(4z)}{2y + 4z} ≤ \dfrac{2y + 4z}{4} (2)$
$ \dfrac{4zx}{4z + x} = \dfrac{(4z)x}{4z + x} ≤ \dfrac{4z + x}{4} (3)$
$(1) + (2) + (3): $
$ \dfrac{2xy}{x + 2y} + \dfrac{8yz}{2y + 4z} + \dfrac{4zx}{4z + x} $
$ ≤ \dfrac{2(x + 2y + 4z)}{4} = \dfrac{2.12}{4} = 6$
Dấu $’=’ ⇔ x = 2y = 4z ⇔ x = 4; y = 2; z = 1$