Cho x, y, z thỏa mãn `x+y+z = 7; x^2 + y^2 + z^2 = 23; x*y*z = 3`
Tính `H = 1/(xy + z -6) + 1/(yz+x-6) + 1/(zx + y -6)`
Cho x, y, z thỏa mãn `x+y+z = 7; x^2 + y^2 + z^2 = 23; x*y*z = 3`
Tính `H = 1/(xy + z -6) + 1/(yz+x-6) + 1/(zx + y -6)`
Đáp án:
`H = -1`
Giải thích các bước giải:
Vì `x+y+z= 7`
`=> z= -x – y -7`
`=> xy + y – 6 = xy – x – y – 1 = (x-1)(x-1)`
Tương tự ta có: `yz + x – 6 = (x-1)(z-1)`
`zx + y – 6 = (z-1)(y-1)`
Vậy `H = 1/((x-1)(y-1)) + 1/((y-1)(z-1)) + 1/((x-1)(z-1))`
`H = (z-1 + x-1 + y-1)/((x-1)(y-1)(z-1))`
`H = ((x+y+z)-3)/(xyz -(xy + yz + zx) + (x+y+z) -1)`
`H = (7-3)/(3-(xy+yz+zx) + 7 -1)`
`H = 4/(9-(xy+yz+zx))`
Ta có: `(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 +2(xy + yz + xz)`
`=> 7^2 = 23 + 2(xy + yz + zx)`
`=> xy + yz + zx = 13`
Vậy `H = 4/(9-13) = -1`
Đáp án:
`H=-1`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`H=\sum \frac{1}{xy+z-6}=\sum \frac{1}{(x-1)(y-1)}`
`=\frac{(x+y+z)-3}{(x-1)(y-1)(z-1)}`
`=\frac{4}{xyz-(xy + yz + zx)+(x+y+z)-1}`
`=\frac{4}{3-13+7-1}`
`(xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{49-23}{2}=13)`
`=\frac{4}{-4}=-1`