cho x,y,z thực dương thỏa mãn xyz=1 tìm giá trị lớn nhất của A=x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z+1) 29/08/2021 Bởi Ayla cho x,y,z thực dương thỏa mãn xyz=1 tìm giá trị lớn nhất của A=x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z+1)
Đáp án: Ta có : `A = x/(2x+ 1) + y/(2y + 1) + z/(2z + 1)` `= 1/2(1 – 1/(2x + 1)) + 1/2(1 – 1/(2y + 1)) + 1/2(1 – 1/(2z + 1))` `= 1/2(3 – (1/(2x + 1) + 1/(2y + 1) + 1/(2z + 1)))` Đặt `B = 1/(2x + 1) + 1/(2y + 1) + 1/(2z + 1)` `= (xyz)/(2x + xyz) + (xyz)/(2y + xyz) + (xyz)/(2z + xyz)` `= (yz)/(2 + yz) + (xz)/(2 + xz) + (xy)/(2 + xy)` Do `xyz = 1` , nên ta sẽ đặt `(xy,yz,zx) = (a/b , b/c , c/a)` `-> B = (b/c)/(b/c + 2) + (c/a)/(c/a + 2) + (a/b)/(a/b + 2)` `= b/(b + 2c) + c/(c+ 2a) + a/(a + 2b)` `= b^2/(b^2 + 2bc) + c^2/(c^2 + 2ac) + a^2/(a^2 + 2ab)` Áp dụng BĐT ` cauchy-schwarz` , ta có : `B ≥ (a + b + c)^2/(b^2 + 2bc + c^2 + 2ac + a^2 + 2ab) = (a + b + c)^2/(a + b + c)^2 = 1` `-> A ≤ 1/2(3 – 1) = 1` Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = z = 1` Vậy `GTLN` của `A` là `1 <=> x= y = z = 1` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Ta có :
`A = x/(2x+ 1) + y/(2y + 1) + z/(2z + 1)`
`= 1/2(1 – 1/(2x + 1)) + 1/2(1 – 1/(2y + 1)) + 1/2(1 – 1/(2z + 1))`
`= 1/2(3 – (1/(2x + 1) + 1/(2y + 1) + 1/(2z + 1)))`
Đặt
`B = 1/(2x + 1) + 1/(2y + 1) + 1/(2z + 1)`
`= (xyz)/(2x + xyz) + (xyz)/(2y + xyz) + (xyz)/(2z + xyz)`
`= (yz)/(2 + yz) + (xz)/(2 + xz) + (xy)/(2 + xy)`
Do `xyz = 1` , nên ta sẽ đặt `(xy,yz,zx) = (a/b , b/c , c/a)`
`-> B = (b/c)/(b/c + 2) + (c/a)/(c/a + 2) + (a/b)/(a/b + 2)`
`= b/(b + 2c) + c/(c+ 2a) + a/(a + 2b)`
`= b^2/(b^2 + 2bc) + c^2/(c^2 + 2ac) + a^2/(a^2 + 2ab)`
Áp dụng BĐT ` cauchy-schwarz` , ta có :
`B ≥ (a + b + c)^2/(b^2 + 2bc + c^2 + 2ac + a^2 + 2ab) = (a + b + c)^2/(a + b + c)^2 = 1`
`-> A ≤ 1/2(3 – 1) = 1`
Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = z = 1`
Vậy `GTLN` của `A` là `1 <=> x= y = z = 1`
Giải thích các bước giải: