cho x,y,z thuộc Z , thỏa mãn : x+y = z^3 – 2018z . cmr : x^3 +y^3 +z^3 chia hết cho 6

0 bình luận về “cho x,y,z thuộc Z , thỏa mãn : x+y = z^3 – 2018z . cmr : x^3 +y^3 +z^3 chia hết cho 6”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $Q = x² + y² + z² – xy – yz – zx (Q∈ Z)$

   Áp dụng HĐT :

   $ x³ + y³ + z³ = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + 3xyz$

   Ta có $: P = x³ + y³ + z³ = (x + y + z).Q + 3xyz $

   $ = (z³ – 2017z).Q + 3xyz = z[(z² – 2017)Q + 3xy]$

   @ Xét $z$ có dạng $2p; 2p + 1 ( p ∈ Z)$

   – Nếu $ z = 2p ⇒ P$ chia hết cho $2$

   – Nếu $ z = 2p + 1$ lẻ $⇒ x + y = z³ – 2018z $ lẻ

   $ ⇒ x$ hoặc $y$ chẵn $⇒ xy$ chia hết cho $2$

   $ ⇒ P = z[((2p + 1)² – 2017)Q + 3xy] $

   $ = z[4(p² + p – 504)Q + 3xy]$ Chia hết cho $2 $

   Vậy $P$ chia hết cho $2 (1)$

   @ Xét $z$ có dạng $3q; 3q + 1; 3q + 2 ( q ∈ Z)$

   – Nếu $ z = 3q ⇒ P$ chia hết cho $3$

   – Nếu $ z = 3q + 1$

   $ ⇒ P = z[((3q + 1)² – 2017)Q + 3xy] $

   $ = z[(9q² + 6q – 2016)Q + 3xy]$

   $ = 3z[(3q² + 2q – 672)Q + xy) ⇒ P$ chia hết cho $3$

   – Nếu $ z = 3q + 2$

   $ ⇒ P = z[((3q + 2)² – 2017)Q + 3xy]$

   $ = z[(9q² + 12q – 2013)Q + 3xy]$

   $ = 3z[(3q² + 4q – 671)Q + xy] ⇒ P$ chia hết cho $3$

   Vậy $P$ chia hết cho $3 (2)$

   Từ $(1); (2) ⇒ P$ chia hết cho $6 (đpcm)$

    

   Bình luận