chứng minh : 1. ║a ║ + ║ b║ ≥ ║a + b ║ 2. ║a ║ – ║b ║ ≤ ║a – b ║

Giải thích các bước giải:

\[\begin{array}{l}
1,\\
\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\\
 \Leftrightarrow {\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} \ge \left( {{{\left| {a + b} \right|}}} \right)^2\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2\left| {ab} \right| \ge {a^2} + {b^2} + 2ab\\
 \Leftrightarrow \left| {ab} \right| \ge ab\;(1)
\end{array}\]

Vì $\left(1\right)$ luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

\[\begin{array}{l}
2,\\
\left| a \right| – \left| b \right| \le \left| {a – b} \right|\\
 \Leftrightarrow {\left( {\left| a \right| – \left| b \right|} \right)^2} \le {\left( {\left| {a – b} \right|} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2\left| {ab} \right| \le {\left( {a – b} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2\left| {ab} \right| \le {a^2} + {b^2} – 2ab\\
 \Leftrightarrow  – 2\left| {ab} \right| \le  – 2ab\\
 \Leftrightarrow \left| {ab} \right| \ge ab\;(2)
\end{array}\]

Vì $\left(2\right)$ luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh