chứng minh: (1+sin^2y)x^2+2(siny.cosy)x+1+cos^2y>0 với mọi x,y thuộc R 11/11/2021 Bởi Iris chứng minh: (1+sin^2y)x^2+2(siny.cosy)x+1+cos^2y>0 với mọi x,y thuộc R
Ta có $\sin^2y+1>0\forall y$ Xét $\Delta’=(\sin y\cos y)^2-(1+\sin^2y)(1+\cos^2y)$ $=(\sin y\cos y)^2-(1+\sin^2y+\cos^2y+\sin^2y\cos^2y)$ $=\sin^2y\cos^2y-1-1-\sin^2y\cos^2y$ $=-2<0$ $\to (1+\sin^2y)x^2+2(\sin y\cos y)x+1+\cos^2y>0\forall x, y$ Bình luận
Giải thích các bước giải: Ta có $1+\sin^2y\ge 1+0>0,\quad\forall y$ $\to$Phương trình $f(x)=(1+\sin^2y)x^2+2\sin y\cos y x+1+\cos^2y$ là phương trình bậc $2$ có: $\Delta’=(\sin y\cos y)^2-(1+\sin^2y)(1+\cos^2y)$ $\to \Delta’=\sin^2y\cos^2y-(1+\sin^2y)(1+\cos^2y)$ $\to \Delta’=-\cos ^2\left(y\right)-\sin ^2\left(y\right)-1<0$ $\to f(x)>0\quad\forall x,y$ Bình luận
Ta có $\sin^2y+1>0\forall y$
Xét $\Delta’=(\sin y\cos y)^2-(1+\sin^2y)(1+\cos^2y)$
$=(\sin y\cos y)^2-(1+\sin^2y+\cos^2y+\sin^2y\cos^2y)$
$=\sin^2y\cos^2y-1-1-\sin^2y\cos^2y$
$=-2<0$
$\to (1+\sin^2y)x^2+2(\sin y\cos y)x+1+\cos^2y>0\forall x, y$
Giải thích các bước giải:
Ta có $1+\sin^2y\ge 1+0>0,\quad\forall y$
$\to$Phương trình $f(x)=(1+\sin^2y)x^2+2\sin y\cos y x+1+\cos^2y$ là phương trình bậc $2$ có:
$\Delta’=(\sin y\cos y)^2-(1+\sin^2y)(1+\cos^2y)$
$\to \Delta’=\sin^2y\cos^2y-(1+\sin^2y)(1+\cos^2y)$
$\to \Delta’=-\cos ^2\left(y\right)-\sin ^2\left(y\right)-1<0$
$\to f(x)>0\quad\forall x,y$