Chứng minh :
`1/ \sqrt{1^3+2^3} + 1/ \sqrt{1^3+2^3+3^3} + … + 1/ \sqrt{1^3+2^3+3^3+…+n^3} = 1/{1+2} + 1/{1+2+3} + 1/{1+2+3+…+n}`
Chứng minh :
`1/ \sqrt{1^3+2^3} + 1/ \sqrt{1^3+2^3+3^3} + … + 1/ \sqrt{1^3+2^3+3^3+…+n^3} = 1/{1+2} + 1/{1+2+3} + 1/{1+2+3+…+n}`
Bài toán bổ sung :
Chứng minh công thức ` 1^3 + 2^3 +3^3+ ….+n^3 = (1+2+3+….+n)^2`
Bài giải : Chứng minh quy nạp
Với ` n = 1` ; ta có ` 1^3 = 1^2 = 1` ( đúng )
Với ` n = 2` ; ta có ` 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2` ( đúng )
Giả sử điều trên đúng với `n =k` ; ta sẽ chứng minh với `n = k+1` cũng đúng
Ta có
` 1^3 +2^3 + ….. +k^3 = ( 1 + 2 + ….. + k )^2`
` => 1^3 + 2^3 +….. + k^3 + (k+1)^3 = ( 1 + 2 +….. +k )^2 + (k+1)^3`
` = (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3`
Cần chứng minh :
` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2`
Đẳng thức cần chứng minh tương đương
` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2`
` => (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2`
` => (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3`
Đẳng thức được chứng minh
Vậy ` 1^3 + 2^3 +3^3 +…… + n^3 = (1+2+3+……n)^2 `
————-
Áp dụng ta có
` 1^3 +2^3 = (1+2)^2`
` => \sqrt(1^3+2^3) = \sqrt((1+2)^2) = 1+2`
` => 1/(\sqrt(1^3+2^3)) = 1/(1+2)`
CMTT với các phân thức còn lại
…..
`1/(\sqrt(1^3+2^3+3^3+…+n^3)) = 1/((\sqrt(1+2+3+….+n))^2) = 1/(1+2+3+…+n)`
Vậy ta có điều phải chứng minh (Done)
Đáp án + giải thích các bước giải:
Ta xét đẳng thức: `1^3+…+n^3=(1+…+n)^2`
Với `n=1`, ta có: `1^3=1=(1)^2`
Giả sử đẳng thức đúng với `n=k(k>=1) `
`->S_k=1^3+…+k^3=(1+…+k)^2=[(k(k+1))/2]^2`(giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với `n=k+1`, hay
`S_{k+1}=1^3+…+k^3+(k+1)^3=(1+…+k+k+1)^2=[((k+1)(k+2))/2]^2`
Thật vậy, ta có:
`S_{k+1}=S_k+(k+1)^3=[(k(k+1))/2]^2+(4(k+1)^3)/4=((k+1)^2[k^2+4(k+1)])/4=((k+1)^2(k+2)^2)/4=[((k+1)(k+2))/2]^2`
Vậy đẳng thức đúng với mọi `n`
Áp dụng đẳng thức vào bài, ta có `\sqrt{1^3+…+n^3}=1+…+n`, từ đó có điều phải chứng minh