chứng minh x^2/a+y^2/b+z^2/c>=(x+y+z)^2/a+b+c 31/07/2021 Bởi Josie chứng minh x^2/a+y^2/b+z^2/c>=(x+y+z)^2/a+b+c
Ta có: (a² + b² + c²).(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)² (Bất đẳng thức Bunhacopski) ⇒ (a² + b² + c²).(x² + y² + z²) – (ax + by + cz)² ≥ 0 ⇒ a²y² + b²x² + b²z² + c²y² + c²z² + a²z² – 2abxy – 2bcyz – 2cazx ≥ 0 ⇒ (a²y² – 2abxy + b²x²) + (b²z² – 2bcyz + c²y²) + (c²z² – 2cazx + a²z²) ≥ 0 ⇒ (ay – bx)² + (bz – cy)² + (cz – az)² ≥ 0 Dấu ‘=’ xảy ra khi ay = bx, bz = cy, cz = az Hay $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$ ⇒ (x + y + z)² = ($\frac{x}{√a}$.√a + $\frac{y}{√b}$.√b + $\frac{z}{√c}$.√c)² ⇒ (x + y + z)² ≤ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$).(a + b + c) ⇒ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$) ≥ $\frac{(x + y + z)²}{a + b + c}$ đpcm Học tốt nha bạn :)) ⇔(a²y²−2abxy+b²x²)+(b²z²−3bcyz+c²y²)+(c²z²−2cazx+a²z²)≥0⇔(a²y²-2abxy+b²x²)+(b²z²-3bcyz+c²y²)+(c²z²-2cazx+a²z²)≥0 Bình luận
Ta có:
(a² + b² + c²).(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)² (Bất đẳng thức Bunhacopski)
⇒ (a² + b² + c²).(x² + y² + z²) – (ax + by + cz)² ≥ 0
⇒ a²y² + b²x² + b²z² + c²y² + c²z² + a²z² – 2abxy – 2bcyz – 2cazx ≥ 0
⇒ (a²y² – 2abxy + b²x²) + (b²z² – 2bcyz + c²y²) + (c²z² – 2cazx + a²z²) ≥ 0
⇒ (ay – bx)² + (bz – cy)² + (cz – az)² ≥ 0
Dấu ‘=’ xảy ra khi ay = bx, bz = cy, cz = az
Hay $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$
⇒ (x + y + z)² = ($\frac{x}{√a}$.√a + $\frac{y}{√b}$.√b + $\frac{z}{√c}$.√c)²
⇒ (x + y + z)² ≤ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$).(a + b + c)
⇒ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$) ≥ $\frac{(x + y + z)²}{a + b + c}$ đpcm
Học tốt nha bạn :))
⇔(a²y²−2abxy+b²x²)+(b²z²−3bcyz+c²y²)+(c²z²−2cazx+a²z²)≥0⇔(a²y²-2abxy+b²x²)+(b²z²-3bcyz+c²y²)+(c²z²-2cazx+a²z²)≥0