chứng minh x^2/a+y^2/b+z^2/c>=(x+y+z)^2/a+b+c

Ta có:

(a² + b² + c²).(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)² (Bất đẳng thức Bunhacopski)

⇒ (a² + b² + c²).(x² + y² + z²) – (ax + by + cz)² ≥ 0

⇒ a²y² + b²x² + b²z² + c²y² + c²z² + a²z² – 2abxy – 2bcyz – 2cazx ≥ 0

⇒ (a²y² – 2abxy + b²x²) + (b²z² – 2bcyz + c²y²) + (c²z² – 2cazx + a²z²) ≥ 0

⇒ (ay – bx)² + (bz – cy)² + (cz – az)² ≥ 0 

Dấu ‘=’ xảy ra khi ay = bx, bz = cy, cz = az

Hay $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$ 

⇒ (x + y + z)² = ($\frac{x}{√a}$.√a + $\frac{y}{√b}$.√b + $\frac{z}{√c}$.√c)²

⇒ (x + y + z)² ≤ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$).(a + b + c)

⇒ ($\frac{x²}{a}$ + $\frac{y²}{b}$ + $\frac{z²}{c}$) ≥ $\frac{(x + y + z)²}{a + b + c}$ đpcm

Học tốt nha bạn :))

⇔(a²y²−2abxy+b²x²)+(b²z²−3bcyz+c²y²)+(c²z²−2cazx+a²z²)≥0⇔(a²y²-2abxy+b²x²)+(b²z²-3bcyz+c²y²)+(c²z²-2cazx+a²z²)≥0