Chứng minh x³-3x+1=0 luôn có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án

Ta sẽ chứng minh phương trình trên có 3 nghiệm x∈[−2;2]bằng định lí liên tục.

Đặt f(x)=x^3−3x+1 là hàm liên tục trên[−2;2]

Ta có:

f(−2)=−1;f(−1)=3;f(1)=−1;f(2)=3
Suy ra:

f(−2)f(−1)<0;f(−1)f(1)<0;f(1)f(2)<0
Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có ba nghiệm phân biệt thuộc[−2;2]

HOẶC cách2

Đặt f(x)=x3−3x+1, hàm số liên tục trên RR.

Ta có:

{f(−2)=−1

f(−1)=3

⇒f(−2).f(−1)<0⇒{f(−2)=−1f(−1)=3⇒f(−2).f(−1)<0

⇒ Phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệmx1∈(−2;−1)

f(−1)=3

f(0,5)=−3/8

⇒f(−1).f(0,5)<0⇒{f(−1)=3f(0,5)=−3/8

⇒ Phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệmx2∈(−1;0,5)

f(0,5)=−3/8

f(2)=3

⇒f(0,5).f(2)<0

⇒{f(0,5)=−3/8

f(2)=3

⇒ Phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệmx3∈(0,5;2)

Do (−2;−1)∩(−1;0,5)∩(0,5;2)=∅⇒x1;x2;x3 phân biệt.

Vậy phương trình x3−3x+1=0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2;2).